( n3( n2- 7 )2 - 36 ) chia hết cho 7 với mọi n thuộc Z
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có
A =n[n2(n2 -7)2 -36]= n[(n3 -7n2)-36]
= n(n3 -7n2 -6)( n3 -7n2 +6)
Mà n3 -7n2 -6 = (n+1) (n+2) (n-3)
n3 -7n2 +6 = (n-1)(n-2)(n+3)
Do đó:
A= (n-3)(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)(n+3)
Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp.Trong 7 số nguyên liên tiếp
+Tồn tại một bội của 5 ⇒ A chia hết cho 5
+Tồn tại một bội của 7 ⇒ A chia hết cho 7
+Tồn tại hai bội của 3 ⇒ A chia hết cho 9
+Tồn tại ba bội số của 2,trong đó có một bội số của 4 ⇒ A chia hết cho 16
A chia hết cho các số 5,7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho
5.7.9.16 =5040.
+ Qua ví dụ 1 rút ra cách làm như sau:
Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n ∈ N hoặc n ∈ Z).
n^3-n^2+2n+7=(n^3+n)-(n^2+1)+n+8=n(n^2+1)-(n^2+1)+n+8. Để n(n^2+1)-(n^2+1)+n+8 chia hết cho n^2+1=>8+n chia hết cho n^2+1
Vậy n=2k hoặc 2k+1
Xét TH:n=2k
=>8+n=8+2k(1)
*n^2+1=(2k)^2+1=4k^2+1(2)
Từ (1) và (2) ta có:8+2k chia hết cho 2 mà 4k^2+1 không chia hết cho 2 nên n ko bằng 2k
Xét TH:n=2k+1=>8+n=8+2k+1(3)
*n^2+1=(2k+1)^2+1
n^2+1=(4k^2+1)+(2k+1)(4)
Từ 3 và 4 : muốn 8+n chia hết n^2 +1 thì 8 chia hết cho 4k^2+1
=>4k^2+1 thuộc{-1;+1;-2;+2;-4;+4;-8;8}
các bạn làm từng TH thì sẽ ra k=0 và n=1 và các bạn thế vào đề bài lai để kiểm tra kết quả
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
em gửi bài qua fb thầy chữa cho, tìm fb của thầy bằng sđt nhé: 0975705122
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Vì đây là 7 số nguyên liên tiếp
nên A chia hết cho 7!
=>A chia hết cho 5040
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Rút gọn được n 3 – n. Biến đổi thành Q = n(n – 1)(n + 1). Ba số nguyên liên tiếp trong đó sẽ có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3, vì Q ⋮ 6.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\Leftrightarrow n^3+n-n^2-1+n+8⋮n^2+1\)
\(\Leftrightarrow n^2+1\in\left\{1;65\right\}\)
hay \(n\in\left\{0;8;-8\right\}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
n^3-n^2+2n+7 chia hết cho n^2+1
=>n^3+n-n^2-1+n+6 chia hết cho n^2+1
=>n+6 chia hết cho n^2+1
=>n^2-36 chia hết cho n^2+1
=>n^2+1-37 chia hết cho n^2+1
=>n^2+1 thuộc {1;37}
=>\(n^2\in\left\{0;36\right\}\)
=>n thuộc {0;6;-6}
Ta thử lại, ta thấy n=-6 và n=6 không thỏa mãn
=>n=0
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(A=n\left[n^2\left(n^2-7\right)^2-36\right]=n\left[\left(n^3-7n\right)^2-36\right]\)
\(=n\left(n^3-7n-6\right)\left(n^3-7n+6\right)\)
\(=n\left(n-3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n-2\right)\left(n-1\right)\left(n+3\right)\)
\(\Rightarrow A\) là tích 7 số nguyên liên tiếp nên A luôn chia hết cho 7
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
A = n³(n²-7)² - 36n = n(n³-7n)² - 6².n = n(n³-7n+6)(n³-7n-6)
A = n(n-1)(n²+n-6)(n+2)(n²-2n-3)
A = n(n-1)(n-2)(n+3)(n+2)(n+1)(n-3)
A = n(n-1)(n-2)(n-4 +7)(n-5 +7)(n-6 +7)(n-3)
với mọi số nguyên n khi chia cho 7 có các số dư là: {0,1,2,3,4,5,6}
=> có đúng 1 trong các số: n, n-1, n-2, n-3, n-4, n-5, n-6 chia hết cho 7
=> A chia hết cho 7
~~~~~~~~~~~~~~~~~
Nhận xét thêm
tôi nghĩ n³(n²-7)62 phải là n³(n²-7)² (bấm Shift cho chắc vào nhé)
ngoài ra xét 1 ví dụ sau:
có 2 người "xữ" hết 4 quả cam thế thì ta nói "2 người chia hết 4 quả cam"
gọn hơn thì là "2 chia hết 4"
hoặc nói cách khác: "4 quả cam chia hết cho 2 người"
nói gọn là: "4 chia hết cho 2"
do đó cái "cho" cực kì quan trọng không thể ghi thiếu được
ở trên ta chứng minh "A chia hết cho 7"
hoặc còn nói cách khác "7 chia hết A"
nên câu hỏi ghi "A chia hết 7" là sai
nhớ rằng: "2 chia hết 4" tương đương với "4 chia hết cho 2"
cái này rất cơ bản, nhưng rất nhiều người bị nhầm, hoặc vô tình bị thiếu làm sai cả bản chất của vấn đề