Cho x,y,z > 0. Tìm :
a) \(maxA=\sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{z^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{x^2}}\left(ĐK:x+y+z=1\right)\)
b) \(maxB=\sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{x^2}}\left(ĐK:x+y\le1\right)\)
c) \(max,minC=2x+\sqrt{5-x^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 3 2019
Bạn tham khảo tại đây:
Câu hỏi của Vũ Sơn Tùng - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
16 tháng 6 2019
Ta có \(1+x^2=x^2+xy+yz+xz=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
Tương tự \(1+y^2=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)
\(1+z^2=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
Thay vào A ta được
\(P=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)
=2(xy+xz+yz)=2
17 tháng 6 2019
\(b,VT=VP\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{xy+yz+zx+x^2}+\frac{y}{xy+yz+zx+y^2}+\frac{z}{xy+yz+zx+z^2}\)
\(=\frac{2xyz}{\sqrt{\left(xy+yz+zx+x^2\right)\left(xy+yz+zx+y^2\right)\left(xy+yz+zx+z^2\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{z}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\)
\(=\frac{2xyz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(y+x\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\frac{2xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(\Leftrightarrow xy+xz+xy+yz+xz+yz=2xyz\)
\(\Leftrightarrow2=2xyz\)
\(\Leftrightarrow xyz=1\)
Đù =)))
KN
22 tháng 5 2020
Ta có: \(x^2\left(y+z\right)\ge x^2.2\sqrt{yz}=2\sqrt{x^4}.\sqrt{\frac{1}{x}}=2x\sqrt{x}\)(Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương y,z và sử dụng giả thiết xyz = 1)
Hoàn toàn tương tự: \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)
Do đó \(P=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
\(\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(a=x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}\), \(b=y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}\), \(c=z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}\)
Suy ra: \(x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9}\), \(y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9}\), \(z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)
Do đó \(P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{c}+\frac{4b+c-2a}{a}\right)\)
\(=\frac{2}{9}\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\)
\(\ge\frac{2}{9}\left[4.3\sqrt[3]{\frac{c}{b}.\frac{a}{c}.\frac{b}{a}}+3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}-6\right]\)(Áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số dương)
\(=\frac{2}{9}\left[4.3+3-6\right]=2\)
Vậy \(P\ge2\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
14 tháng 11 2017
Đặt \(\sqrt{x}=x;\sqrt{y}=y;\sqrt{z}=z\) cho dễ nhìn.
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=2\\x^2+y^2+z^2=2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=4\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=1\)
Ta có:
\(x\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)+y\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)+z\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\)
\(=x^2y^2z+y^2z^2x+z^2x^2y+x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2x+z^2y+x+y+z\)
\(=xyz\left(xy+yz+zx\right)+x^2\left(2-x\right)+y^2\left(2-y\right)+z^2\left(2-z\right)+2\)
\(=-2xyz+2\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x^3+y^3+z^3-3xyz\right)+2\)
\(=-2xyz+6-\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
\(=-2xyz+6-2=-2xyz+4\)
Ta lại có:
\(\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)=x^2y^2z^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+x^2+y^2+z^2+1\)
\(=x^2y^2z^2+\left(xy+yz+zx\right)^2-2xyz\left(xy+yz+zx\right)+3\)
\(=x^2y^2z^2-2xyz+4=\left(xyz-2\right)^2\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{\left(xyz-2\right)^2}.\frac{4-2xyz}{\left(xyz-2\right)^2}\)
Tới đây bí :((
8 tháng 8 2016
Bạn xem lại đề nhé :)
Thay 1 bằng xy + yz + zx được :
\(1+y^2=xy+yz+zx+y^2=x\left(y+z\right)+y\left(y+z\right)=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)
Tương tự : \(1+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\), \(1+z^2=\left(x+z\right)\left(z+y\right)\)
Suy ra \(Q=x\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right).\left(x+z\right)\left(z+y\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+y\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right).\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+z\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right).\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{\left(x+z\right)\left(z+y\right)}}\)
\(=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}=x\left|y+z\right|+y\left|x+z\right|+z\left|x+y\right|\)
\(=2\left(xy+yz+zx\right)=2\)(vì x,y,z > 0)
TN
28 tháng 6 2016
Ta có:
1+x2=xy+yz+xz+x2=(x+y)(x+z)
1+y2=xy+yz+xz+y2=(y+z)(x+y)
1+z2=xy+yz+zx+z2=(x+z)(y+z)
Thay vào A ta được:
\(A=x\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)\(+y\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}}\)\(+z\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\)
\(=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\left(x+y\right)^2\)
\(=x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\)
\(=xy+xz+xy+yz+xz+zy\)
\(=2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(=2\)
Đây ms là chuẩn :)
