Question

[Đinh Đức Hùng]

Cho a;b;c dương t/m\(a^2+b^2+c^2=3\)CMR :

\(ab^2+bc^2+ca^2-abc\le2\)

Answer 1

[i love you]

dự đoán của chúa Pain a=b=c=1

ta có   \(ab^2\le\frac{\left(a+B^2\right)^2}{4}:bc^2\le\frac{\left(b+c^2\right)^2}{4}:ca^2\le\frac{\left(c+a^2\right)^2}{4}.\)

\(ab^2+bc^2+ca^2\le\frac{\left(a^2+2ab+b^2\right)+\left(b^2+2bc+c^2\right)+\left(c^2+2ac+c^2\right)}{4}\)

\(ab^2+bc^2+ca^2\le\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)

ta có  \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\left(cosi\right)\Leftrightarrow ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2=3\)luôn đúng 

thay số ta được \(ab^2+bc^2+ca^2\le\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3\)

\(ab^2+bc^2+ca^2-abc\le3-abc\)

có  \(abc\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}..."-abc"\ge\rightarrow\le\) ( -abc dấu > thành dấu < cùng dấu thay vào được )

\(ab^2+bc^2+ca^2-abc\le3-\frac{\left(a+b+C\right)^3}{27}\)

ta có \(a^2+1\ge2a\left(cosi\right)\)

        \(b^2+1\ge2b\)

       \(c^2+1\ge2c\)

\(a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\)

có (a^2+b^2+c^2)=3 (gt)   \(\Rightarrow3+3\ge2\left(a+b+C\right)\Rightarrow3\ge a+b+C\Rightarrow-3\le-\left(a+b+c\right)\)

cùng dấu < thay vào ta được

\(ab^2+bc^2+ca^2-abc\le3-\frac{\left(3\right)^3}{27}=3-1=2\)

\(\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2-abc\le2\)

cho chúa Pain xin cái tính :)