Cho 100 số tự nhiên \(a_1;a_2;...;a_{100}\) thỏa mãn điều kiện :
\(\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+.....+\dfrac{1}{\sqrt{a_{100}}}=19\)
Chứng minh rằng trong 100 số đã cho có 2 số bằng nhau
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:A-B=111...111111-2 x 111...111111
(100 chữ số 1) (50 chữ số 2)
=1111...1111 x (1000...0001 - 2)
(50 chữ số 1) (có 51 chữ số trong đó có 49 chữ số 0)
=1111...1111 x 9999...9999
(50 chữ số 1) (50 chữ số 9)
=1111...1111 x 9 x 1111...1111
(50 chữ số 1) (50 chữ số 1)
=(1111...1111)^2 x 3^2
=(1111...1111 x 3)^2
Vậy hiệu A-B là một số chính phương
TICK MIK NHÉ PẠN
Tinh số tự nhiên A la:
1 x 100=100
Tính số tự nhiên B là:
2 x 50=100
Vì A và B là:
A-B=100-100=0
=>A-B là số chính phương
Ta có: A - B = 1111....1111 - 2 x 1111...111
(100 chữ số 1) (50 chữ số 1)
= 1111.....1111 x (1000...0001 - 2)
(50 chữ số 1) (có 51 chữ số trong đó có 49 chữ số 0)
= 1111.....11111 x 9999....9999
(50 chữ số 1) (50 chữ số 9)
= 1111...1111 x 9 x 1111....1111
(50 chữ số1) (50 chữ số1)
= (1111....1111)^2 x 3^2
= (1111.....1111 x 3)^2
Vậy hiệu A - B là một số chính phương
Giả sử 100 số đó đôi một khác nhau
Không mất tính tổng quát giả sử \(0< a_1< a_2< a_3< ...< a_{100}\)
Vậy \(a_1\ge1;a_2\ge2;....;a_{100}\ge100\)suy ra \(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{100}}\le1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{100}}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}\)(99 phân số \(\frac{1}{2}\))
\(\Rightarrow\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{100}}< \frac{1}{2}.\left(2+99\right)=\frac{1}{2}.101=\frac{101}{2}\)trái với giả thiết.
Vì vậy điều giả sử sai, ta có điều phải chứng minh
Mình làm thế này:
Ta có A=11...11(100 số 1)
⇔A=1...10...0 + 1...1(50 số 1 vào 50 số 0)
⇔A=1....1.10^50+1....1(50 số 1)
Đặt 50 lần số là a, ta có A=a.10^a+a
và B=2a
Vậy A-B=a.10^a-2a+a=a.10^a-a=a.(9a+1)-a=9a²+...
Vậy A-B là 1 số chính phương
Chúc bạn học tốt
ta có:tổng của 100 chữ số 1 là 100=A
tổng của50 chữ số 2 là100=B
=>A-B=100-100=0
vậy A-B là 1 scp
Giả sử 100 số tự nhiên đã cho đôi một khác nhau và \(a_1\ge1\),\(a_2\ge2\),..\(a_{100}\ge100\)( vì a là số tự nhiên)
\(\Rightarrow S=\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_{100}}}\le\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}\)
Ta có điều sau:\(\dfrac{1}{2\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \dfrac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\)
\(\Rightarrow S< 1+2.\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\)
\(=1+2.\left(10-1\right)=19\)( trái với giả thiết)
nên có ít nhất 2 trong 100 số đã cho bằng nhau .
Làm hộ câu tìm xyzt