Question

[Danny Nguyễn]

Giải giùm mình bài này với;

Rút Gọn Biểu Thức

\(F=\sqrt{5-2\sqrt{3-\sqrt{3}}}-\sqrt{3+\sqrt{3}}+\sqrt{2+\sqrt{3}}\)

Answer 1

[vũ thị thu thao]

F=1.41....

Answer 2

[Danny Nguyễn]

Trước hết ta sẽ giải quyết phần \(\sqrt{5-2\sqrt{3-\sqrt{3}}}\)

ta có công thức rút gọn sau: \(S+_-2\sqrt{P}\Rightarrow x^2-Sx+P\Leftrightarrow x_1=a;x_2=b\Rightarrow S+2\sqrt{P}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

 \(\sqrt{5-2\sqrt{3-\sqrt{3}}}\Rightarrow x^2-5x+3\sqrt{3}=0\left(1\right)\)

\(\left(a=1;b=-5;c=3-\sqrt{3}\right)\)

\(\Delta=b^2-4ac=\left(-5\right)^2-4.1.\left(3-\sqrt{3}\right)=13+4\sqrt{3}>0\)

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{13+4\sqrt{3}}=\sqrt{\left(2\sqrt{3}+1\right)^2}=2\sqrt{3}+1\)

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:

\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-\left(-5\right)+2\sqrt{3}+1}{2.1}=3+\sqrt{3}\)
\(x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-\left(-5\right)-\left(2\sqrt{3}-1\right)}{2.1}=2-\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\sqrt{5-2\sqrt{3-\sqrt{3}}}=\sqrt{\left(\sqrt{3+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^2}=\sqrt{3+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}\)

\(F=\sqrt{3+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{3+\sqrt{3}}+\sqrt{2+\sqrt{3}}\)

\(\Leftrightarrow F=\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}\)

Nhân cả tử và mẫu của hai căn với căn 2 

Từ đó ta sẽ được hằng đẳng thức ở tử và rút gọn mất căn:

 \(\Leftrightarrow F=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)