Cho: x,y,z \(\in\) R ; x + y + z = 5 ; xy + yz + xz = 8.
Tìm GTNN, GTLN của x.y.z.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 8 2016
Đặt a = x + y, b = y + z, c = x + z
Từ đó ta có x = \(\frac{a\:+C-b}{2}\), y = \(\frac{a+b-c}{2}\), z = \(\frac{b+c-a}{2}\)
Thì bất đẳng thức thành
\(\frac{a+c-b}{2b}\)+ \(\frac{b+c-a}{2a}\)+ \(\frac{a+b-c}{2c}\)<= \(\frac{3}{2}\)
<=> (a/b + b/a) + (a/c + c/a) + (b/c + c/b) <= 6 (đúng)
Vậy bất đẳng thức ban đầu là đúng
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 3 2017
Lời giải:
Đến thi HSG C3 còn không được phép sử dụng những BĐT nằm ngoài phạm vi kinh điển vậy mà một bài lớp 8 tại sao lại dùng đến những công cụ như thế kia? Bằng không hãy chứng minh nó trước khi sử dụng, nếu không bài làm của bạn là vô nghĩa.
Áp dụng BĐT Holder bậc 3:
BĐT Holder: Cho \(a,b,c,m,n,p,x,y,z>0\) thì có:
\((a^3+b^3+c^3)(m^3+n^3+p^3)(x^3+y^3+z^3)\geq (amx+bny+cpz)^3\)
Cách CM: Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{a^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{m^3}{m^3+n^3+p^3}+\frac{x^3}{x^3+y^3+z^3}\geq \frac{3axm}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(m^3+n^3+p^3)(x^3+y^3+z^3)}}\)
Thức hiện tương tự với các phân thức dạng trên và cộng lại ta được đpcm
Quay lại bài toán và áp dụng:
Ta có \(\left(\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2}\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right)(1+1+1)\geq \left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)^3\)
\(\Leftrightarrow \left(\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2}\right).3\geq \left(\frac{xy+yz+xz}{xyz}\right)^3\) \((1)\)
Ta biết BĐT quen thuộc sau \((xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z)\) (AM-GM)
\(\Rightarrow (xy+yz+xz)^2\geq 3(xyz)^2\rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xyz}\geq \sqrt{3}\) \((2)\)
\((1),(2)\Rightarrow \frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2}\geq \sqrt{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)
22 tháng 3 2017
Dự đoán khi \(x=y=z=\sqrt{3}\) ta tìm được \(S=\sqrt{3}\)
Vậy ta sẽ chứng minh nó là giá trị nhỏ nhất của \(S\)
Tức là ta cần chứng minh \(\Sigma\dfrac{x}{y^2}\ge\sqrt{\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{xyz}}\)
Thật vậy, \(\left(x,y,z\right)\) và \(\left(\dfrac{1}{x^2,},\dfrac{1}{y^2},\dfrac{1}{z^2}\right)\) là các số đối đã được sắp xếp lại
Vì vậy theo BĐT Rearrangement ta có:
\(\sum\frac{x}{y^2}=x\cdot\frac{1}{y^2}+y\cdot\frac{1}{z^2}+z\cdot\frac{1}{x^2}\geq x\cdot\frac{1}{x^2}+y\cdot\frac{1}{y^2}+z\cdot\frac{1}{z^2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}.\)
Vậy ta còn phải chứng minh \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq\sqrt{\frac{3(x+y+z)}{xyz}}\)
Hay \(xy+xz+yz\geq\sqrt{3xyz(x+y+z)}\)
Sau khi bình phương và biến đổi 2 vế ta có \(\sum z^2(x-y)^2\geq0\)
BD
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 9 2017
Lời giải:
Đặt \((x+y+z,xy+yz+xz)=(a,b)\). Bài toán trở thành:
Cho \(a,b\in\mathbb{R}|a+b=5\).CMR: \(a^2-2b\geq 3\)
----------------------------------------------------------------
Với mọi \(x,y,z\in\mathbb{R}\Rightarrow x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz\)
BĐT đúng vì tương đương với \((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 0\)
Suy ra \((x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)\Leftrightarrow a^2\geq 3b\)
Bây giờ, thử \(a^2-2b=3\)
Giải HPT \(\left\{\begin{matrix} a+b=5\\ a^2-2b=3\end{matrix}\right.\Rightarrow \) \(\left\{\begin{matrix} a=-1-\sqrt{14}\\ b=6+\sqrt{14}\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2<3b\) (vô lý)
Thử \(a^2-2b=4\)
Giải HPT suy ra \(\left\{\begin{matrix} a=-1-\sqrt{15}\\ b=6+\sqrt{15}\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2<3b\) (vô lý)
Vậy kết luận là đề bài sai.
NT
1
7 tháng 5 2019
Ta có: \(\left(x-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+1\ge2x\)
Tương tự: \(y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)
\(x^2+y^2\ge2xy\) \(y^2+z^2\ge2yz\) \(z^2+x^2\ge2zx\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)=12\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
làm hơi tắt thông cảm
16 tháng 6 2018
\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
⇔ \(\left(x+y\right)^3+z^3-3x^2y-3xy^2-3xyz=0\)
⇔ \(\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-z\left(x+y\right)+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
⇔ \(\left(x+y+z\right)\left(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy\right)=0\)
⇔ \(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)=0\)
⇔ \(\left(x+y+z\right)\left(x^2-2xy+y^2+z^2-2xz+x^2+y^2-2yz+z^2\right)=0\) ⇔ \(\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]=0\)
Do : x , y , z là ba số thực phân biệt , ta có :
\(x+y+z=0\)
⇔ \(x+y=-z;y+z=-x;x+z=-y\)
Khi đó , ta có : \(P=\dfrac{2016xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}=\dfrac{2016xyz}{-xyz}=-2016\)
TN
1
LV
4 tháng 8 2017
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)=xy+xz+y^2+yz=y\left(x+y+z\right)+xz\)
\(=y.\frac{1}{xyz}+xz=\frac{1}{xz}+xz\ge2\)
T
22 tháng 9 2019
Quy đồng full:v
x = y = z = 1\(\rightarrow P=1\). Ta sẽ c/m đó là gtln của P. Thật vậy:
\(P-1=2\Sigma\frac{\left(x-1\right)}{x+2}=2\Sigma\left(\frac{x-1}{x+2}-\frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{3}\left(x-1\right)\right)\)
\(=\Sigma\frac{-2\left(x-1\right)^2}{3\left(x+2\right)}+\frac{1}{3}\left(x+y+z-3\right)\le0\)
Do đó P \(\le1\). Vậy....
P/s: đúng không ta:3
