cho x^1000+y^1000=a; x^2000+y^2000=2b/3; x^5000+y^5000=c/36; tìm liên hệ giữa a,b,c
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(bx^2=ay^2\Rightarrow\dfrac{x^2}{a}=\dfrac{y^2}{b}=\dfrac{x^2+y^2}{a+b}=\dfrac{1}{a+b}\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{x^2}{a}\right)^{1000}=\left(\dfrac{y^2}{b}\right)^{1000}=\left(\dfrac{1}{a+b}\right)^{1000}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^{2000}}{a^{1000}}=\dfrac{y^{2000}}{b^{1000}}=\dfrac{1}{\left(a+b\right)^{1000}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^{2000}}{a^{1000}}+\dfrac{y^{2000}}{b^{1000}}=\dfrac{1}{\left(a+b\right)^{1000}}+\dfrac{1}{\left(a+b\right)^{1000}}=\dfrac{2}{\left(a+b\right)^{1000}}\)
Áp dụng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
\(ay^2=bx^2\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{a}=\dfrac{y^2}{b}=\dfrac{x^2+y^2}{a+b}=\dfrac{1}{a+b}\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{x^2}{a}\right)^{1000}=\left(\dfrac{y^2}{b}\right)^{1000}=\dfrac{1}{\left(a+b\right)^{1000}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^{2000}}{a^{1000}}+\dfrac{y^{2000}}{b^{1000}}=\dfrac{2}{\left(a+b\right)^{1000}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x^{1000}=a\\y^{1000}=b\end{cases}}\)
Thì ta có
\(\hept{\begin{cases}a+b=6,912\\a^2+b^2=33,76244\end{cases}}\)
Ta có (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab = 6,9122
Từ đây suy ra được ab có ab từ đây đễ đàng suy ra được
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
\(\left\{{}\begin{matrix}x-2\sqrt{y}+1=0\\y-2\sqrt{z}+1=0\\z-2\sqrt{x}+1=0\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế 3 pt trên ta có:
\(\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+\left(y-2\sqrt{y}+1\right)+\left(z-2\sqrt{z}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y}-1\right)^2+\left(\sqrt{z}-1\right)^2=0\)
Dễ thấy: \(VT=\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y}-1\right)^2+\left(\sqrt{z}-1\right)^2\ge0=VP\)
Xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}-1=0\\\sqrt{y}-1=0\\\sqrt{z}-1=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=1\\\sqrt{y}=1\\\sqrt{z}=1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x=y=z=1\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}\right)(a+b)\geq (x^2+y^2)^2=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}\geq \frac{1}{a+b}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
\(\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}=\frac{x^2+y^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}\)
\(\Rightarrow \frac{x^{2000}}{a^{1000}}+\frac{y^{2000}}{b^{1000}}=\left(\frac{x^2}{a}\right)^{1000}+\left(\frac{y^2}{b}\right)^{1000}\)
\(=\frac{1}{(a+b)^{1000}}+\frac{1}{(a+b)^{1000}}=\frac{2}{(a+b)^{1000}}\)
đặt x^1000=m,y^1000=n
m+n=a
m2+n2=2b/3 =>a2=2b/3+2mn =>mn=a2-2b/3
m5+n5=c/36 <=>(n+m)[(m+n)4-5mn(m+n)2+5m2n2]=c/36
<=>a.[a4-5(a2-2b/3)a2+5(a2-2b/3)2 ]=c/36 <=>a(a4-10a2b/3+20b2/9)=c/36 <=>a(9a4-30a2b+20b2)=c/4