Question

[Nguyen Thi Dieu Linh]

Chứng minh rằng:

a) A=1/2+2/2^2+3/2^3+4/4^4+...+100/3^100<2

b) B=1/3+2/3^2+3/3^3+...+100/3^100<3/4

c) C=1/2^3+1/3^3+1/4^3+...+1/n^3<1/4 (n thuộc N; n> hoặc = 2)

d) D=1/3^3+1/4^3+1/5^3+...+1/n^3<1/12 (n thuộc N; n> hoặc =3)

e) E=2/1*4/3*6/5*...*200/199<20

f) F=3/4+5/56+7/144+...+2n+1/n^2+(n+1)^2 ( n nguyên dương)

g) G=1/2*(1/6+1/24+1/60+...+1/9240)>57/62

h) H=1/31+1/32+1/33+...+1/2048>3

i) I=(1-1/3)*(1-1/6)*(1-1/10)*...*(1-1/253)<2/5

j) J=1/2!+2/3!+3/4!+...+n-1/n!<2

k) K=1/2!+5/3!+11/4!+...+n^2+n-1/(n+1)!<2 (n nguyên dương)

l) 1/6<L=1/5^2+1/6^2+1/7^2+...+1/100^2<1/4

Answer 1

[Nguyễn Minh Trí]

a/(Sửa đề bài) A= 1/2 + 2/2² + 3/2³ + 4/2⁴ +..+ 100/2¹⁰⁰                                                                                                                                                  => 1/2A = 1/2² + 2/2³ + 3/2⁴ +..+ 100/2¹⁰¹                                                                                                                                                   => A - 1/2A = 1/2 + 2/2² +..+ 100/2¹⁰⁰ - 1/2² - 2/2³ -..- 100/2¹⁰¹                                                                                                                 => 1/2A = 1/2 + 1/2² + 1/2³ +..+ 1/2¹⁰⁰ - 100/2¹⁰¹                                                                                                                                       Gọi riêng cụm (1/2 + 1/2² +..+ 1/2¹⁰⁰) là B                                                                                                                                                   => 2B = 1 + 1/2 + 1/2² +..+ 1/2⁹⁹                                                                                                                                                                   => 2B-B = B = 1+ 1/2 +1/2² +..+ 1/2⁹⁹ - 1/2 - 1/2² -..- 1/2¹⁰⁰ = 1 - 1/2¹⁰⁰                                                                                            => 1/2A = 1 - 1/2¹⁰⁰ - 100/2¹⁰¹                                                                                                                                                                 Có 1/2A < 1 => A < 2 =>ĐPCM                                                                                                                          b/ => 1/3C = 1/3² + 2/3³ + 3/3⁴ +..+ 100/3¹⁰¹                                                                                                                                                => C - 1/3C = 2/3C = 1/3 + 2/3² +..+ 100/3¹⁰⁰ - 1/3² - 2/3³ -..- 100/3¹⁰¹ = 1/3 + 1/3² + 1/3³ +..+ 1/3¹⁰⁰ - 100/3¹⁰¹                              Gọi riêng cụm (1/3 + 1/3² +..+ 1/3¹⁰⁰) là D                                                                                                                                               => 3D = 1 + 1/3 +..+ 1/3⁹⁹                                                                                                                                                                         => 3D - D = 2D = 1 + 1/3 +..+1/3⁹⁹ - 1/3 -1/3² -..- 1/3¹⁰⁰ = 1 - 1/3¹⁰⁰                                                                                                       => 2/3C *2 = 4/3C = 1 - 1/3¹⁰⁰ - 200/3¹⁰¹                                                                                                                                                 Có 4/3C < 1 => C<3/4 => ĐPCM              Tạm thời thế đã, giải tiếp đc con nào mình sẽ gửi sau :)