Question

[Minh Quân]

Bài 1: Tam giác ABC có AB = 24cm, AC = 3, BC=40cm. Trên cạnh AC lấy điểm M
sao cho AM = 7cm. Chứng minh rằng:

a) Tam giác ABC là tam giác vuông;
b) ∠AMB =2∠C

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = AC = 8,5cm, BC = 15cm. Kẻ AH vuông góc với
BC (H ∈ BC)

a) Chứng minh HB=HC
b) Tính độ dài AH
c) Kẻ HE ⊥ AB (E ∈ AB), HK ⊥ AC (K ∈ AC) . So sánh độ dài HE và HK.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC. Tia phân giác của
góc HAB cắt BC tại E, tia phân giác của góc HAC cắt BC tại D. Chứng minh
rằng AB+AC=BC+DE.

Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, kẻ BD vuông góc với AC (D thuộc AC) và
CE vuông góc với AB (E thuộc AB). Trên tia đối của tia BD lấy điểm F sao
cho BF=AC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm G sao cho CG=AB.
a) Chứng minh ∠ABF = ∠ACG
b) Chứng minh AF = AG và AF ⊥ AG .

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Bài 1: Sửa đề: AC=32cm

a) Ta có: \(BC^2=40^2=1600\)

\(AB^2+AC^2=24^2+32^2=1600\)

Do đó: \(BC^2=AB^2+AC^2\)(=1600)

Xét ΔABC có \(BC^2=AB^2+AC^2\)(cmt)

nên ΔABC vuông tại A(định lí pytago đảo)

b) Ta có: AM+MC=AC(M nằm giữa A và C)

hay MC=AC-AM=32-7=25cm

Áp dụng định lí pytago vào ΔAMB vuông tại A, ta được

\(MB^2=AM^2+AB^2\)

\(\Leftrightarrow MB^2=7^2+24^2=625\)

hay \(MB=\sqrt{625}=25cm\)

Xét ΔMBC có MB=MC(=25cm)

nên ΔMBC cân tại M(định nghĩa tam giác cân)

⇒\(\widehat{CMB}=180^0-2\cdot\widehat{C}\)(số đo của góc ở đỉnh trong ΔMBC cân tại M)(1)

Ta có: \(\widehat{CMB}+\widehat{AMB}=180^0\)(hai góc kề bù)

hay \(\widehat{AMB}=180^0-\widehat{CMB}\)(2)

Thay (1) vào (2), ta được

\(\widehat{AMB}=180^0-\left(180^0-2\cdot\widehat{C}\right)\)

\(\Leftrightarrow\widehat{AMB}=180^0-180^0+2\cdot\widehat{C}\)

hay \(\widehat{AMB}=2\cdot\widehat{C}\)(đpcm)

Bài 2:

a) Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có

AB=AC(gt)

AH là cạnh chung

Do đó: ΔAHB=ΔAHC(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

⇒HB=HC(hai cạnh tương ứng)

b) Ta có: HB=HC(cmt)

mà HB+HC=BC=15cm

nên \(HB=HC=\frac{BC}{2}=\frac{15}{2}=7,5cm\)

Áp dụng định lí pytago vào ΔAHB vuông tại H, ta được

\(AB^2=AH^2+BH^2\)

hay \(AH^2=AB^2-BH^2=\left(8,5\right)^2-\left(7,5\right)^2=16\)

⇔\(AH=\sqrt{16}=4cm\)

Vậy: AH=4cm

c) Xét ΔHEB vuông tại E và ΔHKC vuông tại K có

HB=HC(cmt)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

Do đó: ΔHEB=ΔHKC(cạnh huyền-góc nhọn)

⇒HE=HK(hai cạnh tương ứng)