Question

[Nguyễn Gia Bảo]

Cho tam giác nhọn ABC có BC = a ; CA = b; AB = c . CMR :

\(sin\frac{A}{2}\le\frac{a}{2\sqrt{bc}}\)

xác định dạng của ABC khi dấu " = " xảy ra

Answer 1

[Quang Trung]

- Dựng phân giác AD của góc A . Sau đó dựng BB' và CC' vuông góc với AD 

- Đặt BB' = x , CC' = y . Ta có :

+) \(\Delta ABB'\)cân tại A \(sin\frac{A}{2}=\frac{x}{2c}\)

+) \(\Delta ACC'\)cân tại A \(sin\frac{A}{2}=\frac{y}{2b}\)

\(\Rightarrow sin^2\frac{A}{2}=\frac{xy}{4bc}\)

Để cm(1) , ta cần cm : \(xy\le a^2\)

+) Trong tam giác BHD vuông tại H ta có : \(BH\le CD\)hay \(\frac{x}{2}\le BD\)

+) Trong tam giác CKD vuông tại K ta có : \(CK\le CH\)hay \(\frac{y}{2}\le CD\)

\(\Rightarrow a=BD+CD\ge\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\)

\(\Rightarrow a^2\ge xy\left(đpcm\right)\)

Answer 2

[Nguyễn Minh Đăng]

Kẻ phân giác AD của tam giác ABC (D nằm trên đoạn BC)

Từ B,C kẻ các đường vuông góc với đường thẳng AD tại E,F

Khi đó ta có: \(\sin\widehat{BAE}=\frac{BE}{AB}=\frac{BE}{c}\) ; \(\sin\widehat{FAC}=\frac{CF}{AC}=\frac{CF}{b}\)

Mà \(\sin\frac{\widehat{A}}{2}=\sin\widehat{BAE}=\sin\widehat{FAC}=\frac{BE}{c}=\frac{CF}{b}=\frac{BE+CF}{b+c}\)

Ta thấy \(\hept{\begin{cases}BE\le BD\\CF\le CD\end{cases}}\Rightarrow BE+CF\le BD+CD=BC\)

Lại có theo bất đẳng thức Cauchy: \(b+c\ge2\sqrt{bc}\)

\(\Rightarrow\sin\frac{\widehat{A}}{2}=\frac{BE+CF}{b+c}\le\frac{BC}{2\sqrt{bc}}=\frac{a}{2\sqrt{bc}}\)

Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC cân tại A