Question

[ABCDEFG]

Cho đường tròn (O; 3cm) và điểm A nằm ngoài đường tròn với OA = 6cm và cắt đường tròn tại I. Kẻ các tiếp
tuyến AB và AC. Gọi H là giao điểm của OA và BC.
a) Chứng minh OA vuông góc BC. TÍnh OH.
b) Chứng minh tứ giác OBIC là hình thoi và tam giác BAC đều
c) Lấy điểm M thuộc đường tròn sao cho BM < MC (M nằm phía trong ABC). Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại M
cắt AB tại D, cắt AC tại E. Chứng minh DE = DB + EC
Tính chu vi ADE

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

mà OB=OC

nên OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại trung điểm của BC

=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(OH\cdot OA=OB^2\)

=>\(OH\cdot6=3^2=9\)

=>OH=1,5(cm)

b: Xét ΔOBA vuông tại B có \(cosBOA=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{1}{2}\)

nên \(\widehat{BOA}=60^0\)

Xét ΔOBI có OB=OI và \(\widehat{BOI}=60^0\)

nên ΔOBI đều

ΔOBI đều

mà BH là đường cao

nên H là trung điểm của OI

Xét tứ giác OBIC có

H là trung điểm chung của OI và BC

nên OBIC là hình bình hành

Hình bình hành OBIC có OB=OC

nên OBIC là hình thoi

ΔOBA vuông tại B

=>\(\widehat{BOA}+\widehat{BAO}=90^0\)

=>\(\widehat{BAO}+60^0=90^0\)

=>\(\widehat{BAO}=30^0\)

Xét ΔABC có AB=AC

nên ΔABC cân tại A

ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao

nên AH là phân giác của \(\widehat{BAC}\)

=>\(\widehat{BAC}=2\cdot\widehat{BAH}=60^0\)

=>ΔBAC đều

c: Xét (O) có

DB,DM là tiếp tuyến

Do đó: DB=DM 

Xét (O) có

EM,EC là tiếp tuyến

=>EM=EC

DE=DM+ME

mà DM=DB và CE=EM

nên DE=DB+EC

ΔOBA vuông tại B

=>\(BO^2+BA^2=OA^2\)

=>\(BA^2=6^2-3^2=27\)

=>\(BA=3\sqrt{3}\left(cm\right)\)

\(C_{ADE}=AD+DE+AE\)

\(=AD+AE+DB+EC\)

=AB+AC

\(=3\sqrt{3}\cdot2=6\sqrt{3}\left(cm\right)\)