tìm GTLN của A=1/(a^3/(b+c) + 1/b^3/(a+c) + 1/c^3/(a+b) biết a,b,c >0; abc=0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PT
2
P
10 tháng 3 2018
1) Đặt P = (a-1)/a +(b-1)/b+(c-4)/c
Dễ thấy P = 3 - (1/a + 1/b + 4/c)
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki :
(1/a + 1/b + 4/c)(a + b + c) <= [căn(1/a).căn a + căn(1/b).căn b + căn(4/c).căn c]^2 = (1 + 1 + 2)^2 = 16
=> 1/a + 1/b + 4/c <= 16/6 = 8/3
Suy ra : P >= 3 - 8/3 = 1/3
Min P = 3 <=> a = b = 3/2 và c = 3
2) Đặt P = (a+1)/[√(a⁴+a+1) -a²] = {(a + 1).[√(a⁴+a+1) + a²]} / (a^4 + a + 1 - a^2) = (a + 1).[√(a⁴+a+1) + a²]/(a + 1) = √(a⁴+a+1) + a² (nhân liên hợp)
Ta có : 4a^2 + a√2 -√2 = 0
=> a^2 = (√2 - a√2)/4 = (1 - a)/(2√2)
=> a^4 = (1 - 2a + a^2)/8
Do đó P = √[(1 - 2a + a^2)/8 + a + 1] + (1 - a)/(2√2) = √[(a^2 + 6a + 9)/8] + (1 - a)/(2√2) = (a + 3)/(2√2) + (1 - a)/(2√2) = √2 (đpcm)
9 tháng 8 2020
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
26 tháng 6 2017
\(A=\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\)
\(\sqrt[3]{\frac{4}{9}}A=\sqrt[3]{\frac{4}{9}}.\left(\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\right)\)
\(\le\frac{a+b+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}+\frac{b+c+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}+\frac{c+a+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}\)
\(=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)=2\)
\(\Rightarrow A\le\frac{2}{\sqrt[3]{\frac{4}{9}}}=\sqrt[3]{18}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
TN
26 tháng 6 2017
Áp dụng BĐT Holder ta có:
\(A^3=\left(\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\right)^3\)
\(\le\left(1+1+1\right)\left(1+1+1\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)\)
\(=9\cdot2\left(a+b+c\right)=9\cdot2=18\)
\(\Rightarrow A^3\le18\Rightarrow A\le\sqrt[3]{18}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
HN
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 1 2022
\(P=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{ab+bc+ca}{ab+bc+ca}=1\)
\(P_{min}=1\) khi \(a=b=c=1\)
\(P=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{ab+bc+ca}-2\)
Do \(a;b\ge1\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Rightarrow ab\ge a+b-1=2-c\)
\(\Rightarrow ab+c\left(a+b\right)\ge2-c+c\left(3-c\right)=-c^2+2c+2=c\left(2-c\right)+2\ge2\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{9}{2}-2=\dfrac{5}{2}\)
\(P_{max}=\dfrac{5}{2}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;2;0\right);\left(2;1;0\right)\)
TV
2
6 tháng 10 2021
Ta có : a^2+b^2 +c^2 >= ab+bc+ac ==> a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac>=3(ab+bc+ac) => (ab+bc+ac)<= ((a+b+c)^2)/3 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c Áp dụng : được Max B = 3 khi a=b=c=1
HT
BM
1
TS
3 tháng 6 2016
Số phần tử của tâp hợp đó là :
100 - 40 + 1 = 61 phần tử
Đáp số : 61 phần tử
F
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 8 2021
\(a^4+b^4+b^4+b^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^{12}}=4ab^3\)
Tương tự:
\(b^4+3c^4\ge4bc^3\) ; \(c^4+3a^4\ge4ca^3\)
Cộng vế:
\(M\le a^4+b^4+c^4=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt[4]{3}}\)
NH
1
31 tháng 10 2016
lớp 6 gì kinh thế cái này lớp 8
M=a^3+b^3+ab
M=(a+b)[(a+b)^2-3ab)]+ab=1-2ab
a+b=1=> b=1-a
M=1-2a(1-a)=1+2a^2-2a
M=2.[(a^2-a+1/2)]+1
-=2(a-1/2)^2+1/2
GTLN của M=1/2 khi a=b=1/2
1 tháng 5 2019
Áp dụng bdtd quen thuộc :
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
Ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
1 tháng 5 2019
Chứng minh bđt nha ( quên mất )
Áp dụng bđt Cauchy :
\(\hept{\begin{cases}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\end{cases}}\)
Nhân từng vế của 2 bđt ta được đpcm
Dấu "=" khi \(a=b=c\)