Question

[Lê Tài Bảo Châu]

Cho các  số thực dương a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức;

\(Q=\frac{a^3+2}{ab+1}+\frac{b^3+2}{bc+1}+\frac{c^3+2}{ca+1}\)

Answer 1

[avdb]

Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số dương ta được

\(a^3+1+1\ge3\sqrt[3]{a^3.1.1}\)

=> \(a^3+2\ge3a\)

Áp dụng tương tự có

\(ab+1\ge2\sqrt{ab.1}\)

=>\(ab+1\ge2\sqrt{ab}\)

=>\(\frac{a^3+2}{ab+1}\ge\frac{3a}{2\sqrt{ab}}\)

=> \(\frac{a^3+2}{ab+1}\ge\frac{3}{2}\sqrt{\frac{a}{b}}\)

Chứng minh tương tự thì Q\(\ge\frac{3}{2}\left(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}}\right)\)

Áp dụng cô si lần nữa thì \(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}}\ge\sqrt{\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}}=1\)

=>Q\(\ge\frac{3}{2}\)

Min Q=3/2. 

Answer 2

[T.Ps]

#)Mất công lắm tui ms tìm đc cách bải này đấy, xin đừng cho ăn gạch đá :v

Ta có (a^3+2)/(ab+1) = 1/2.(2a^3+4)/(ab+1)
Mà 2a^3+4= (a^3+a^3+1) +3
Mặt khác theo BĐT CBS ta có a^3+a^3+1≥ 3a^2
=>2a^3 +4≥ 3(a^2+1)
Tương tự với (b^3 + 2)/(bc + 1) và (c^3 + 2)/(ca + 1)
=>Q ≥ 3/2[(a^2+1)/(ab+1) +(b^2+1)/(bc+1) +(c^2+1)/(ca+1)]
Theo BĐT CBS=> (a^2+1)/(ab+1) +(b^2+1)/(bc+1) +(c^2+1)/(ca+1) ≥ 3.căn bặc ba của [(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)]/[(ab+1)(bc+1)(ac+1)]
Mà theo bất đẳng thức bunhicốpxki
=>(a^2+1)(b^2+1)≥(ab+1)^2
(b^2+1)(c^2+1)≥(bc+1)^2
(c^2+1)(a^2+1)≥(ac+1)^2
=>[(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)]/[(ab+1)(bc+1)(ac+1)]≥1
=> (a^2+1)/(ab+1) +(b^2+1)/(bc+1) +(c^2+1)/(ca+1) ≥ 3
=> Q ≥9/2
Dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1

       P/s : trả công ( đùa tí :P )

           #~Will~be~Pens~#