Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(\left(\frac{a-b}{c},\frac{b-c}{a},\frac{c-a}{b}\right)\rightarrow\left(x,y,z\right)\)
Khi đó:\(\left(\frac{c}{a-b},\frac{a}{b-c},\frac{b}{c-a}\right)\rightarrow\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\right)\)
Ta có:
\(P\cdot Q=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}\)
Mặt khác:\(\frac{y+z}{x}=\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\cdot\frac{c}{a-b}=\frac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}\cdot\frac{c}{a-b}\)
\(=\frac{c\left(a-b\right)\left(c-a-b\right)}{ab\left(a-b\right)}=\frac{c\left(c-a-b\right)}{ab}=\frac{2c^2}{ab}\left(1\right)\)
Tương tự:\(\frac{x+z}{y}=\frac{2a^2}{bc}\left(2\right)\)
\(=\frac{x+y}{z}=\frac{2b^2}{ac}\left(3\right)\)
Từ ( 1 );( 2 );( 3 ) ta có:
\(P\cdot Q=3+\frac{2c^2}{ab}+\frac{2a^2}{bc}+\frac{2b^2}{ac}=3+\frac{2}{abc}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Ta có:\(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3=-c^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
Khi đó:\(P\cdot Q=3+\frac{2}{abc}\cdot3abc=9\)
Ta có: \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\Leftrightarrow\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{zx}{ca}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\cdot\frac{xyc+yza+zxb}{abc}=1\)
Mà \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\Leftrightarrow\frac{yza+zxb+xyc}{xyz}=0\)
\(\Rightarrow yza+zxb+xyc=0\)
\(\Rightarrow A=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)
Đặt : x/a = m ; y/b = n ; z/c = p
=> m+n+p = 1 ; 1/m+1/n+1/p=0
1/m+1/n+1/p=0
<=> mn+np+pm/mnp=0
<=> mn+np+pm=0
<=> 2mn+2np+2pm=0
Xét : 1 = (m+n+p)^2 = m^2+n^2+p^2+2mn+2np+2pm = m^2+n^2+p^2
=> x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2 = 1
=> ĐPCM
Tk mk nha
a)Ta có: ab+ac+bc=-7 (ab+ac+bc)^2=49
nên
(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2=49
nên a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2−2(ab)^2−2(ac)^2−2(bc^)2=98
b) (x^2+y^2+z^2)/(a^2+b^2+c^2)=
=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2 <=>
x^2+y^2+z^2=x^2+(a^2/b^2)y^2+
+(a^2/c^2)z^2+(b^2/a^2)x^2+y^2+
+(b^2/c^2)z^2+(c^2/a^2)x^2+
+(c^2/b^2)y^2+z^2 <=>
[(b^2+c^2)/a^2]x^2+[(a^2+c^2)/b^2]y^2+
+[(a^2+b^2)/c^2]z^2 = 0 (*)
Đặt A=[(b^2+c^2)/a^2]x^2; B=[(a^2+c^2)/b^2]y^2;
và C=[(a^2+b^2)/c^2]z^2
Vì a,b,c khác 0 nên suy ra A,B,C đều không âm
Từ (*) ta có A+B+C=0
Tổng 3 số không âm bằng 0 thì cả 3 số đều phải bằng 0,tức A=B=C=0
Vì a,b,c khác 0 nên [(b^2+c^2)/c^2]>0 =>x^2=0 =>x=0
Tương tự B=C=0 =>y^2=z^2=0 => y=z=0
Vậy x^2011+y^2011+z^2011=0
Và x^2008+y^2008+z^2008=0.
Nhân cả 2 vế với a+b+c
Chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) tương tự với \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b};\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)luôn đúng do a;b>0
dễ rồi nhé
b) \(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)
\(P=\left(\frac{x+1}{x+1}+\frac{y+1}{y+1}+\frac{z+1}{z+1}\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel (mình nói bđt như vậy,chỗ này bạn cứ nói theo cái bđt đề bài cho đi) ta được:
\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+1+y+1+z+1}=\frac{9}{4}\)
=>\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)
=>Pmax=3/4 <=> x=y=z=1/3
Bài 1:
a) Từ đkđb:
$x+y+z=0\Rightarrow x+y=-z; y+z=-x; z+x=-y$
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0\Rightarrow xbc+yac+zab=0$
$a+b+c=0\Rightarrow a=-(b+c)\Rightarrow a^2=(b+c)^2$
$\Rightarrow a^2x=(b+c)^2x$.
Tương tự: $b^2y=(a+c)^2y; c^2z=(a+b)^2z$
Do đó:
$a^2x+b^2y+c^2z=(b+c)^2x+(a+c)^2y+(a+b)^2z=a^2(y+z)+b^2(z+x)+c^2(x+y)+2(xbc+yac+zab)$
$=a^2(-x)+b^2(-y)+c^2(-z)+2.0=-(a^2x+b^2y+c^2z)$
$\Rightarrow 2(a^2x+b^2y+c^2z=0$
$\Rightarrow a^2x+b^2y+c^2z=0$ (đpcm)
b)
\(\left\{\begin{matrix} x=by+cz\\ y=ax+cz\\ z=ax+by\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{x+y+z}{2}=ax+by+cz\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ax=\frac{x+y+z}{2}-x=\frac{y+z-x}{2}\\ by=\frac{x+y+z}{2}-y=\frac{x+z-y}{2}\\ cz=\frac{x+y+z}{2}-z=\frac{x+y-z}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{y+z-x}{2x}\\ b=\frac{x+z-y}{2y}\\ c=\frac{x+y-z}{2z}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+1=\frac{y+z+x}{2x}\\ b+1=\frac{x+z+y}{2y}\\ c+1=\frac{x+y+z}{2z}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=\frac{2x}{x+y+z}+\frac{2y}{x+y+z}+\frac{2z}{x+y+z}=2\) (đpcm)
Bài 2:
Đặt $\frac{a_2}{a_1}=x; \frac{b_2}{b_1}=y; \frac{c_2}{c_1}=z$
Khi đó bài toán trở thành: Cho $x,y,z\neq 0$ thỏa mãn \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\\ x+y+z=1\end{matrix}\right.\)
CMR: $x^2+y^2+z^2=1$
-----------------------------------
Thật vậy:
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\\ x+y+z=1\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} xy+yz+xz=0\\ x+y+z=1\end{matrix}\right.\)
Khi đó: $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=1^2-2.0=1$ (đpcm)
Vậy........
Câu 1, Quy đồng mẫu của 2 về lấy MTC là (x-y)(y-z)(z-x).
Câu 2, Chỉ có thể xảy ra khi a+b+c=x+y+z=x/a+y/b+z/c=0
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}=\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\) C/M thế này cho ít số dễ nhìn
Quy đồng ta được
\(a^2y\left(x+y\right)+b^2x\left(x+y\right)=xy\left(a^2+2ab+b^2\right)\)
\(a^2yx+a^2y^2+b^2x^2+b^2xy=a^2xy+2abxy+b^2xy\)
rút gọn
\(a^2y^2+b^2x^2=2abxy\)
\(a^2y^2+b^2x^2-2abxy=0\) hằng đẳng thức số 2
\(\left(ay+bx\right)^2=0\)
\(ay+bx=0\Leftrightarrow ax=-bx\)
vậy \(-bx+bx=0\) đúng
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}=\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\Leftrightarrow\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
Đặt \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=ak\\y=bk\\z=ck\end{cases}}\)
Ta có \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}=\frac{a^2}{ak}+\frac{b^2}{bk}+\frac{c^2}{ck}=\frac{a}{k}+\frac{b}{k}+\frac{c}{k}=\frac{a+b+c}{k}\)(1)
\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ak+bk+ck}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)k}=\frac{a+b+c}{k}\)(2)
Từ (1); (2) => \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)