Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
+, Nếu x+y+z+t = 0
=> E = -1 + (-1) + (-1) + (-1) = -4
+, Nếu x+y+z+t khác 0 thì :
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
x/y+z+t = y/z+t+x = z/t+x+y = t/x+y+z = x+y+z+t/y+z+t+z+t+x+t+x+y+x+y+z = 1/3
=> x = 1/3.(y+z+t) ; y = 1/3.(z+t+x) ; z = 1/3.(t+x+y) ; t = 1/3.(x+y+z)
=> x=y=z=t
=> E = 1+1+1+1 = 4
Vậy ............
Tk mk nha
\(VP=\frac{x}{y+z+t}+\frac{y}{z+t+x}+\frac{z}{t+x+y}+\frac{t}{x+y+z}+\frac{y+z+t}{x}+\frac{z+t+x}{y}+\frac{t+x+y}{z}+\frac{x+y+z}{t}=\left(\frac{x}{y+z+t}+\frac{y+z+t}{9x}\right)+\left(\frac{y}{z+t+x}+\frac{z+t+x}{9y}\right)+\left(\frac{z}{t+x+y}+\frac{t+x+y}{9z}\right)+\left(\frac{t}{x+y+z}+\frac{x+y+z}{9t}\right)+\frac{8}{9}\left(\frac{y+z+t}{x}+\frac{z+t+x}{y}+\frac{t+x+y}{z}+\frac{x+y+z}{t}\right)\)\(\ge8\sqrt[8]{\frac{x}{y+z+t}.\frac{y}{z+t+x}.\frac{z}{t+x+y}.\frac{t}{x+y+z}.\frac{y+z+t}{9x}.\frac{z+t+x}{9y}.\frac{t+x+y}{9z}.\frac{x+y+z}{9t}}+\frac{8}{9}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{t}{x}+\frac{z}{y}+\frac{t}{y}+\frac{x}{y}+\frac{t}{z}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{x}{t}+\frac{y}{t}+\frac{z}{t}\right)\)\(\ge\frac{8}{3}+\frac{8}{9}.12\sqrt[12]{\frac{y}{x}.\frac{z}{x}.\frac{t}{x}.\frac{z}{y}.\frac{t}{y}.\frac{x}{y}.\frac{t}{z}.\frac{x}{z}.\frac{y}{z}.\frac{x}{t}.\frac{y}{t}.\frac{z}{t}}=\frac{8}{3}+\frac{8}{9}.12=\frac{40}{3}=VT\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = t > 0
TH1 : \(x+y+z+t=0\)
=> \(x+y=-\left(z+t\right)\)
\(y+z=-\left(x+t\right)\)
\(z+t=-\left(x+y\right)\)
\(x+t=-\left(y+z\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x+y}{z+t}=\frac{y+z}{t+x}=\frac{z+t}{x+y}=\frac{t+x}{y+z}=-1\)
\(\Rightarrow P=\frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{t+x}{y+z}=-4\)
TH2 : \(x+y+z+t\ne0\)
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}\)
\(=\frac{x+y+z+t}{3\left(x+y+z+t\right)}=3\)( do \(x+y+z+t\ne0\))
\(\Rightarrow x=3\left(y+z+t\right)\)
\(y=3\left(z+t+x\right)\)
\(z=3\left(t+x+y\right)\)
\(t=3\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow\)\(4x=3\left(x+y+z+t\right)\)
\(4y=3\left(x+y+z+t\right)\)
\(4z=3\left(x+y+z+t\right)\)
\(4t=3\left(x+y+z+t\right)\)
\(\Rightarrow\)\(4x=4y=4z=4t\)
\(\Rightarrow\)\(x=y=z=t\)
\(\Rightarrow P=\frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{t+x}{y+z}\)\(=1+1+1+1\)\(=4\)
Vậy trong cả 2 trường hợp P đều có giá trị nguyên
Bài trên đúng rồi đó các bạn cho bn ý
Mà đây là Toán 7 thì đúng hơn
Ta có: \(A=\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{y+z+t}+\frac{z}{z+t+x}+\frac{t}{t+x+y}\)
\(A>\frac{x}{x+y+z+t}+\frac{y}{x+y+z+t}+\frac{z}{x+y+z+t}+\frac{t}{x+y+z+t}=1>\frac{9}{10}\)
\(A< \frac{x+t}{x+y+z+t}+\frac{y+x}{x+y+z+t}+\frac{z+y}{x+y+z+t}+\frac{t+z}{x+y+z+t}=2< \frac{9}{4}\)
Vậy: \(\frac{9}{10}< A< \frac{9}{4}\)
bạn girl làm đúng rồi , giống ý tưởng của mình là đánh giá dãy trên nhỏ hơn 1 và lớn hơn 2
Nhưng bạn nên đánh giá rõ từng phân số nhé , không nên làm tắt như bài của bạn ấy :)
Ta có:\(A=\frac{x-t}{t+y}+\frac{t-y}{y+z}+\frac{y-z}{z+x}+\frac{z-x}{x+t}\)
\(\Rightarrow A+4=\left(\frac{x-t}{t+y}+1\right)+\left(\frac{t-y}{y+z}+1\right)+\left(\frac{y-z}{z+x}+1\right)+\left(\frac{z-x}{x+t}+1\right)\)
\(=\frac{x+y}{t+y}+\frac{t+z}{y+z}+\frac{x+y}{z+x}+\frac{z+t}{x+t}=\left(x+y\right)\left(\frac{1}{t+y}+\frac{1}{z+x}\right)+\left(t+z\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+t}\right)\)
Do x,y,z,t là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức cô-si,ta có:
\(\Rightarrow A+4\ge\frac{4\left(x+y\right)}{x+y+z+t}+\frac{4\left(z+t\right)}{x+y+z+t}=4\Rightarrow A\ge0\left(ĐPCM\right)\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\z=t\end{cases}}\)
Đặt \(\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{t}=k\)
Áp dụng TC DTSBN ta có : \(k=\frac{x+y+z}{y+z+t}\) \(\Rightarrow k^3=\left(\frac{x+y+z}{y+z+t}\right)^3\)(1)
Ta cx có : \(k^3=\left(\frac{x}{y}\right)^3=\frac{x}{y}.\frac{x}{y}.\frac{x}{y}=\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{t}=\frac{x}{t}\) (2)
Từ (1) ; (2) \(\Rightarrow k^3=\left(\frac{x+y+z}{y+z+t}\right)^3=\frac{x}{t}\) (đpcm)
Dễ thấy \(x+y+z\ne0\)
Ta có :
\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}\right)+\left(x+y+z\right)\left(\frac{y}{x+z}\right)+\left(x+y+z\right)\left(\frac{z}{x+y}\right)\)
\(=\frac{x^2}{y+z}+x+\frac{y^2}{x+z}+y+\frac{z^2}{x+y}+z\)
\(=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}+x+y+z\)
Mà \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\)
\(=\left(x+y+z\right).1=x+y+z\)
=> \(x+y+z=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}+x+y+z\)
=> \(0=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)
Làm xong thấy bài tui làm hới ... @@
nhân cả 2 vế với x+y+z ta có
\(\frac{x^2+xy+xz}{y+z}+\frac{y^2+yz+yx}{z+x}+\frac{z^2+zx+zy}{x+y}\)=x+y+z
nên\(\frac{x^2}{y+z}+x+\frac{y^2}{z+x}+y+\frac{z^2}{x+y}+z=x+y+z\)
=> \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=0\)
\(\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}=0\\ =\frac{x}{y-z}=-\left(\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}\right)\\ =\frac{x}{\left(y-x\right)^2}=-\left(\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}\right).\frac{1}{y-x}=\frac{-xy+y^2-z^2+xz}{\left(z-x\right)\left(x-y\right)\left(y-z\right)}\left(1\right)\)
Tự làm với 2 phân thức còn lại, ta có:
\(\frac{y}{\left(z-x\right)^2}=\frac{-x^2+z^2+xy-yz}{\left(z-x\right)\left(x-y\right)\left(y-z\right)}\left(2\right)\)
\(\frac{z}{\left(x-y\right)^2}=\frac{x^2-y^2-xz+yz}{\left(z-x\right)\left(x-y\right)\left(y-z\right)}\left(3\right)\)
Cộng 3 vế lại với nhau ta có: \(Q=\frac{x}{\left(y-x\right)^2}+\frac{y}{\left(z-x\right)^2}+\frac{z}{\left(x-y\right)^2}=0\)
áp dụng định lí Pain có
\(\frac{\left(x+y+z+t\right)}{3\left(x+y+z+t\right)}=\frac{1}{3}\)
tương tự
theo định lí Pain có
\(E=\frac{2\left(x+y+z+t\right)}{2\left(x+y+z+t\right)}=1\)
P/S : chém bừa ( i love you)
\(\text{Xét 2 khoảng ta có:}\)
* \(\text{Nếu x + y + z + t = 0 thì }E=-1+-1+-1+-1=-4\)
* \(\text{Nếu }x+y+z+t\ne0\text{ thì }\)
\(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{x+z+t}=\frac{z}{x+y+t}=\frac{t}{x+y+z}=\frac{x+y+z+t}{y+z+t+x+z+t+x+y+t+x+y+z}=\frac{1}{3}\left(\text{Dãy tỉ sô băng nhau}\right)\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{3\left(y+z+t\right)};y=\frac{1}{3\left(x+z+t\right)};z=\frac{1}{3\left(x+y+t\right)};t=\frac{1}{3\left(x+y+z\right)}\)
\(\Rightarrow x=y=z=t\)
Lấy ví dụ là x ta có:
\(E=\frac{2x}{2x}+\frac{2x}{2x}+\frac{2x}{2x}+\frac{2x}{2x}=4\)