Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
muốn hỏi thì copy link rồi hỏi nhé bạn!!
https://olm.vn/bg/luyenthichuyen/thao-luan
mk chỉ nêu cách giải thôi nha. Đây là cách mk nghĩ ra nên không đúng lắm. Bạn sắp xếp lại cho hợp lí nhá.
Đặt A=\(\dfrac{a}{2a+b+c}+\dfrac{b}{a+2b+c}+\dfrac{c}{a+b+2c}\)
\(\Rightarrow \dfrac {1}{A}=\dfrac{2a+b+c}{a}+\dfrac{a+2b+c}{b}+\dfrac{a+b+2c}{c}\) \(=6+(\dfrac {a}{b}+\dfrac{b}{a})+(\dfrac {b}{c}+\dfrac{c}{b})+(\dfrac {a}{c}+\dfrac{c}{a})\)
vì \(a,b,c\geq 0\) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\((\dfrac {a}{b}+\dfrac{b}{a})\geq 2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}\) \(=2\)
tương tự ta có:
\(6+(\dfrac {a}{b}+\dfrac{b}{a})+(\dfrac {b}{c}+\dfrac{c}{b})+(\dfrac {a}{c}+\dfrac{c}{a})\geq 6+2+2+2=12\)
\(\Rightarrow \dfrac {1}{A}\geq 12\) (1)
theo đề bài \(A\leq \dfrac{3}{4}\) \(\Rightarrow \dfrac{1}{A}\geq \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow \dfrac{1}{A}-\dfrac{4}{3} \geq 0\) (2)
từ(1) và(2) \(\Rightarrow \dfrac{1}{A}-\dfrac{4}{3} \geq 12-\dfrac{4}{3} \geq 0\) luôn đúng
Dấu" =" xảy ra khi a=b=c
Thấy : \(a;b;c\ge0;a+b+c=1\) \(\Rightarrow1-a;1-b;1-c\ge0\)
AD BĐT AM - GM ta được : \(4\left(1-a\right)\left(1-c\right)\le\left(2-a-c\right)^2=\left[2-\left(1-b\right)\right]^2=\left(b+1\right)^2\)
\(\Rightarrow4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le\left(1-b\right)\left(b+1\right)^2=\left(1-b^2\right)\left(b+1\right)\le1.\left(b+1\right)=b+1=b+\left(a+b+c\right)=a+2b+c\)
( đpcm )