Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Đặt \(A=(a+1)(b+1)(c+1)\)
\(6A=(a+1)(b+b+2)(c+c+c+3)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(6A\geq 2\sqrt{ab}.3\sqrt[3]{2b^2}.4\sqrt[4]{3c^3}\)
\(\Leftrightarrow 6A\geq 24\sqrt{a}.\sqrt[3]{2b^2}.\sqrt[4]{3c^3}=24\sqrt[12]{a^6.16b^8.27c^9}\)
\(\Leftrightarrow A\geq 4\sqrt[12]{432a^6b^8c^9}\) (1)
Lại có:
\(abc=ab(6-a-b)=\frac{2}{9}.3a.\frac{3}{2}b(6-a-b)\)
\(\leq \frac{2}{9}.\left(\frac{3a+\frac{3}{2}b+6-a-b}{3}\right)^3\) (BĐT AM-GM ngược dấu)
\(\Leftrightarrow abc\leq \frac{2}{9}\left(\frac{6+2a+\frac{b}{2}}{3}\right)^3\leq \frac{2}{9}\left(\frac{6+2+1}{3}\right)^3\)
\(\Leftrightarrow abc\leq 6\) (2)
Từ (1); (2) suy ra \(A\geq 4\sqrt[12]{2.(abc)^3.a^6b^8c^9}\geq 4\sqrt[12]{a^3b.a^3b^3c^3.a^6b^8c^9}\)
(do \(a\leq 1, b\leq 2\))
hay \(A\geq 4\sqrt[12]{(abc)^{12}}=4abc\)
Do đó ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(1,2,3)\)
Lời giải:
Từ \(a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow a+b+c\geq \frac{ab+bc+ac}{abc}\Rightarrow abc(a+b+c)\geq ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow a^2b^2c^2(a+b+c)^2\geq (ab+bc+ac)^2(1)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a^2b^2+b^2c^2\geq 2ab^2c\)
\(b^2c^2+c^2a^2\geq 2abc^2\)
\(a^2b^2+c^2a^2\geq 2a^2bc\)
Cộng theo vế, rút gọn \(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq abc(a+b+c)\)
\(\Rightarrow (ab+bc+ac)^2\geq 3abc(a+b+c)(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow a^2b^2c^2(a+b+c)^2\geq 3abc(a+b+c)\)
\(\Rightarrow abc(a+b+c)\geq 3\Rightarrow a+b+c\geq \frac{3}{abc}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
\(a^5+b^2+ab+6\ge3a^2b+6\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{a^2b+2}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^2c+2}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^2a+2}}\right)\le\sqrt{\dfrac{1}{a^2b+2}+\dfrac{1}{b^2c+2}+\dfrac{1}{c^2a+2}}=\sqrt{Q}\)
\(Q=\dfrac{c}{a+2c}+\dfrac{a}{b+2a}+\dfrac{b}{c+2b}=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{a}{a+2c}+1-\dfrac{b}{b+2a}+1-\dfrac{c}{c+2b}\right)\)
\(Q=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a^2}{a^2+2ac}+\dfrac{b^2}{b^2+2ab}+\dfrac{c^2}{c^2+2bc}\right)\)
\(Q\le\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=1\)
\(\Rightarrow P\le\sqrt{1}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
1.
\(-1\le a\le2\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+1\ge0\\a-2\le0\end{cases}\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a-2\right)\le0\Leftrightarrow a^2\le}2+a\)
Tương tự \(b^2\le2+b,c^2\le2+c\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le6+a+b+c=6\)
Dấu "=" xảy ra khi a=2,b=c=-1 và các hoán vị của chúng
Xét \(\frac{a^2+1}{a}=a+\frac{1}{a}\)
Dễ thấy dấu "=" xảy ra khi \(a=\frac{1}{3}\)
khi đó \(a+\frac{1}{a}=a+\frac{1}{9a}+\frac{8}{9a}\ge2\sqrt{\frac{a.1}{9a}}+\frac{8}{\frac{9.1}{3}}=\frac{10}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+1}\le\frac{3}{10}\)
tương tự =>đpcm
