Question

[vũ quốc hiếu]

2+2^2+2^3+...+2^100 vưa chia hết cho 31 ,vừa chia hết cho 5

Answer 1

[Trần Đặng Phan Vũ]

đặt \(A=2+2^2+2^3+....+2^{100}\)

+) \(A=2+2^2+2^3+.....+2^{100}\)

\(A\) có : \(\left(100-1\right)\div1+1=100\) ( số hạng )

\(A=\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+....+\left(2^{96}+2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\) ( \(A\) có \(100\div5=20\)nhóm )

\(A=2\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+.....+2^{96}\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)

\(A=2.31+.....+2^{96}.31\)

\(A=31\left(2+.....+2^{96}\right)\)

vì \(31⋮31\Rightarrow31\left(2+....+2^{96}\right)⋮31\) 

\(\Rightarrow A⋮31\)

+) \(A=2+2^2+2^3+.....+2^{100}\)

\(A=\left(2+2^2+2^3+2^4\right)+....+\left(2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\) ( \(A\) có : \(100\div4=25\) nhóm )

\(A=2\left(1+2+2^2+2^3\right)+.....+2^{97}\left(1+2+2^2+2^3\right)\)

\(A=2.15+.....+2^{97}.15\)

\(A=15\left(2+....+2^{97}\right)\)

vì \(15⋮5\Rightarrow15\left(2+....+2^{97}\right)⋮5\)

\(\Rightarrow A⋮5\)

Answer 2

[Nhóc_Siêu Phàm]

C = 2 + 2^2 + 2^3 + …….. + 2^99 + 2^100

 = 2(1 +2 + 2^2+ 2^3+ 2^4) + 2^6(1 + 2 + 2^2+ 2^3+ 2^4)+…+ (1 + 2 + 22+ 23+ 24).2^96

 = 2 . 31 + 2^6 . 31 + … + 2^96 . 31

= 31(2 + 2^6 +…+29^6) \(⋮\)31

 Vậy C chia hết cho 31.

(2+2^2+2^3+2^4)+....+(2^97+2^98+2^99+2^100)

 => A= 1.(2+2^2+2^3+2^4)+.............+2^96.(2+22+23+24)

 => A= 1.30+........+2^96.30

 => A= 30.(1+.......+2^96) chia hết cho 5

Vậy A \(⋮\)5