K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Lớn hơn hoặc bằng hay là bằng?

29 tháng 3 2021

Đinh Chỉ Tịnh ≥

22 tháng 4 2019

Ta có : \(\frac{1}{1+a}=1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)

Tương tự : \(\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}}\)\(\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge8\sqrt{\frac{a^2b^2c^2}{\left[\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\right]^2}}=\frac{8abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)

\(\Rightarrow abc\le\frac{1}{8}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\frac{a}{a+1}=\frac{b}{b+1}=\frac{c}{c+1}\\\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}}\)

22 tháng 4 2019

Vì \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1+a}=2-\frac{1}{1+b}-\frac{1}{1+c}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1+a}=\left(1-\frac{1}{1+b}\right)+\left(1-\frac{1}{1+c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1+a}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\left(1\right)\)(Theo AM-GM cho 2 số dương)

Chứng minh tương tự,ta có:

\(\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}}\left(2\right)\)

\(\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\left(3\right)\)

Từ  \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\) suy ra :

\(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge8\sqrt{\frac{a^2b^2c^2}{\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2\left(1+c\right)^2}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge8\cdot\frac{abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)

\(\Leftrightarrow abc\le8\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:\(a=b=c=\frac{1}{2}\)

Vậy \(Q_{max}=8\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)

19 tháng 8 2019

Lời giải :

\(P=\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}\)

\(P=\frac{1}{9}\cdot\left(\frac{9}{a+b+b}+\frac{9}{b+c+c}+\frac{9}{c+a+a}\right)\)

Áp dụng bđt Cauchy dạng \(\frac{9}{x+y+z}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)ta có :

\(P\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}+\frac{1}{c}+\frac{2}{a}\right)\)

\(=\frac{1}{9}\left(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c}\right)\)

\(=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(=\frac{1}{3}\cdot9=3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

19 tháng 8 2019

Theo Cauchy: \(\frac{1}{a+2b}=\frac{1}{a+b+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)\)

Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế thu được:

\(P\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=3\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.

Vậy..

21 tháng 5 2018

\(7\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=6\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)+3\ge7\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\le3\)Áp dụng BĐT AM-GM ta có : 

\(A=\frac{1}{\sqrt{a^3+b^3+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^3c^3+1+1}}+\frac{4\sqrt{3}}{c^6+1+2a^3+8}\)

\(\le\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{4\sqrt{3}}{2c^3+2a^3+8}=\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{2\sqrt{3}}{c^3+a^3+4}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{2\sqrt{3}}{c^3+a^3+1+1+1+1}\)

\(\le\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{2\sqrt{3}}{6\sqrt{ac}}=\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{1}{\sqrt{3ac}}\)\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}\right)\)

\(\le\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{3\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\right)}=\sqrt{\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\right)}\le\sqrt{3}\) (Bunhiacopxki)

Dấu "=" xảy ra\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

PS : Thánh cx đc phết ha; chế đc bài này tui mới khâm phục :)))

28 tháng 5 2018

nó ko chém đâu anh nó chép trong toán tuổi thơ đấy,thk này khốn nạn lắm

25 tháng 2 2019

\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+a}=1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\\\frac{1}{1+b}=1-\frac{1}{1+a}+1-\frac{1}{1+c}=\frac{a}{1+a}+\frac{c}{1+c}\\\frac{1}{1+c}=1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+a}=\frac{b}{1+b}+\frac{a}{1+a}\end{cases}}\)

Áp dụng bđt AM-GM:

\(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\)

\(\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)

\(\frac{a}{1+a}+\frac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}}\)

Nhân theo vế: \(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\frac{8abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)

\(\Leftrightarrow abc\le\frac{1}{8}."="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)

29 tháng 5 2020

Áp dụng bđt cô si ta có:

\(a^2+2b^2+3=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2\ge2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)\) 

\(b^2+2c^2+3\ge2\left(bc+c+1\right)\)

\(c^2+2a^2+3\ge2\left(ac+a+1\right)\)

=> \(M\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{bcab+abc+ab}+\frac{b}{abc+ab+b}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{b+1+ab}+\frac{b}{1+ab+b}\right)\)

\(=\frac{1}{2}.\frac{ab+b+1}{ab+b+1}=\frac{1}{2}\)

29 tháng 5 2020

Bổ sung: 

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c =  1

Vậy GTLN của M = 1/2 tại a = b = c = 1.

1 tháng 5 2020

Ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow\left(a+b\right)c=ab\Leftrightarrow ab-bc-ab=0\)

Hay \(ab-bc-ab+c^2=c^2\Leftrightarrow\left(b-c\right)\left(a-c\right)=c^2\)

Nếu \(\left(b-c;a-c\right)=d\ne1\Rightarrow c^2=d^2\left(loai\right)\)

Vậy \(\left(b-c;a-c\right)=1\Rightarrow c-b;c-a\) là 2 số chính phương

Đặt \(b-c=n^2;a-c=m^2\)

\(\Rightarrow a+b=b-c+a-c+2c=m^2+n^2+2mn=\left(m+n\right)^2\) là số chính phương

26 tháng 7

cho mình hỏi tại sao ở TH1: c^2=d^2 lại loại vậy ạ