Question

[Thái Bình Nguyễn]

Cho hình thang ABCD (AB//CD). \(M\in AD,N\in BC\)sao cho \(\frac{AM}{MD}=\frac{CN}{NB}\). MN cắt BD, AC lần lượt tại E và F. Qua M kẻ đường thẳng // với AC cắ DC tại H. AC cắt BD tại O, HO cắt MN tại I. Chứng minh:

a) HN//BD.

b) IE=IF, ME=MF.

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

a) Xét tam giác ADC có MH//AC nên \(\frac{AM}{MD}=\frac{CH}{HD}\) (Định lý Ta-let)

Lại có theo giả thiết \(\frac{AM}{MD}=\frac{CN}{BN}\)

Suy ra \(\frac{CN}{BN}=\frac{CH}{DH}\)

Xét tam giác DBC có \(\frac{CN}{BN}=\frac{CH}{DH}\) nên áp dụng định lý đảo của định lý Talet ta có HN//BD

b) Gọi giao điểm của MH với BD là G; của AC với NH là K, của OH với GK là J.

Trước hết, ta chứng minh GK//MN. 

Thật vậy, do HM // AC nên theo định lý Ta let ta có \(\frac{MG}{GH}=\frac{AO}{OC}\) 

Do HN//BD (cma) nên \(\frac{KN}{KH}=\frac{OB}{OD}\)

Mà \(\frac{OB}{OD}=\frac{AO}{OC}\Rightarrow\frac{MG}{GH}=\frac{KN}{KH}\)

Theo định lý Ta lét đảo, suy ra GK//MN.

Xét tứ giác OGHK có GO//HK; GH//OK nên OGHK là hình bình hành

Vậy thì J là trung điểm của EK.

Xét tam giác OGK có EF // GK nên ta có :

\(\frac{EI}{GJ}=\frac{FI}{KJ}\Rightarrow\frac{EI}{GJ}=\frac{FI}{GJ}\Rightarrow EI=FI\)

Ta cũng có GK//MN nên :

\(\frac{GJ}{MI}=\frac{KJ}{IN}\Rightarrow MI=NI\Rightarrow ME=NF\)

Answer 2

[trần thành đạt]

giúp em vs CMR với mọi a,b,c ta có (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)>= 3(a+b+c)^2