Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu hỏi của Nguyễn Thái Hà - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
Bạn tham khảo nhé!
\(S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)
\(=\left(1-\frac{1}{2^2}\right)+\left(1-\frac{1}{3^2}\right)+\left(1-\frac{1}{4^2}\right)+...+\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\)
\(=\left(n-1\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)< n-1\)
Ta có \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)
\(=1-\frac{1}{n}\)
\(\Rightarrow\left(n-1\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)< \left(n-1\right)-\left(1-\frac{1}{n}\right)\)> n - 2
Vậy S không là số tự nhiên
Câu hỏi của Nguyễn Thái Hà - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
Bạn tham khảo nhé!
Tuowgn đương chứng minh: A= \(\left(n-1\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)\) không là số tự nhiên.
mà \(0< \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+....+\frac{1}{\left(n-1\right).n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+....+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=1-\frac{1}{n}< 1\) => n-2 <A<n+1 =<A không phải là 1 số tự nhiên
\(\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+.....+\frac{n^2-1}{n^2}\)
\(=\frac{2^2-1}{2^2}+\frac{3^2-1}{3^2}+\frac{4^2-1}{4^2}+....+\frac{n^2-1}{n^2}\)
\(=\left(1+1+1+....+1\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+.....+\frac{1}{n^2}\right)\)
\(=n-1-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+....+\frac{1}{4^2}\right)\)
Mà \(0< \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+....+\frac{1}{4^2}< 1\) ( không biết chứng minh thì ib )
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+....+\frac{1}{4^2}\) không là số nguyên => đpcm
\(\frac{n^2-1}{n^2}=1-\frac{1}{n^2}< 1-\frac{1}{n\left(n+1\right)}=1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\)
\(\Rightarrow B< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+1-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}=n-1+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2}\)
Mà \(n>2\Rightarrow\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2}< 0\Rightarrow B< n-1\)
\(\frac{n^2-1}{n^2}=1-\frac{1}{n^2}>1-\frac{1}{n\left(n-1\right)}=1-\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}\)
\(\Rightarrow B>1-1+\frac{1}{2}+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+1-\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}=n-2+\frac{1}{n}>n-2\)
\(\Rightarrow n-2< B< n-1\Rightarrow B\) nằm giữa 2 số tự nhiên liên tiếp nên B không phải là STN
Tham khảo tại đây:
Câu hỏi của triệu minh Anh - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
\(S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)
\(=1-\frac{1}{2^2}+1-\frac{1}{3^2}+1-\frac{1}{4^2}+...+1-\frac{1}{n^2}\)
\(=\left(1+1+1+...+1\right)+\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)\)
\(=n+\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)< n\left(1\right)\)
Ta có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}=1-\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\)
...........
\(\frac{1}{n^2}< \frac{1}{\left(n-1\right)n}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}=1-\frac{1}{n}< 1\)
\(\Rightarrow-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+....+\frac{1}{n^2}\right)>-1\)
\(\Rightarrow S=n+\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)>n+\left(-1\right)=n-1\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => n - 1 < S < n
Mà n - 1 và n là 2 số liên tiếp
Vậy ....
