Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 3
Chứng minh rằng với mọi k > 0 ta luôn có....
.
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 3
Chứng minh rằng với mọi k > 0 ta luôn có
Bài 1 :
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{z}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(x-1\right)^2}{z}\frac{z}{4}}=\left|x-1\right|=1-x\)
\(\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{x}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(y-1\right)^2}{x}\frac{x}{4}}=\left|y-1\right|=1-y\)
\(\frac{\left(z-1\right)^2}{y}+\frac{y}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\frac{y}{4}}=\left|z-1\right|=1-z\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{z}{4}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{x}{4}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}+\frac{y}{4}\ge1-x+1-y+1-z\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\ge3-\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z}{4}=3-2-\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của \(A=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương \(\frac{\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}}{\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a\right)^3}}}\le2.\sqrt{2}.\sqrt[3]{9}\)
Ta quy bài toán về chứng minh hai bất đẳng thức sau
\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\le3\sqrt{2}\)và \(\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a\right)^3}}\ge\frac{\sqrt[3]{3}}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta được \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\le\sqrt{6\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)\(\le\sqrt{6\sqrt{3\left(a^4+b^4+c^4\right)}}\le3\sqrt{2}\)
Mặt khác ta lại có \(\left[\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(x+y+z\right)\right]^2\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^4\); \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
Do đó ta được \(\left(x^3+y^3+z^3\right)^2\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^3}{3}\)
Áp dụng kết quả trên ta thu được \(\left[\frac{1}{\left(a+b\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a\right)^3}\right]^2\ge\frac{1}{3}\left[\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}\right]^3\)
Mà theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có\(\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}\ge\frac{1}{2\left(a^2+b^2\right)}+\frac{1}{2\left(b^2+c^2\right)}+\frac{1}{2\left(c^2+a^2\right)}\) \(\ge\frac{9}{4\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\frac{9}{4\sqrt{3\left(a^4+b^4+c^4\right)}}\ge\frac{9}{4\sqrt{9}}=\frac{3}{4}\)
Do đó ta có \(\left[\frac{1}{\left(a+b\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a\right)^3}\right]^2\ge\frac{1}{3}\left[\frac{3}{4}\right]^3=\frac{9}{64}\)
Suy ra \(\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a\right)^3}}\ge\frac{\sqrt[3]{3}}{2}\)
Từ các kết quả trên ta được \(\frac{\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}}{\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a\right)^3}}}\le\frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt[3]{3}}{2}}=2.\sqrt{2}.\sqrt[3]{9}\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Hai bài giống hệt nhau về cách làm:
Cho a, b, c > 0 thoả mãn: \(a b c=\sqrt{a} \sqrt{b} \sqrt{c}=2\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{\sqrt{a}}{a 1} \dfrac{\sqrt{... - Hoc24
Ta có \(\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}=\sqrt{bc+a^2bc}=\sqrt{bc+a\left(a+b+c\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
Đặt BT đề cho là P
\(\Leftrightarrow P=\sum\dfrac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}=\sum\sqrt{\dfrac{a}{a+b}\cdot\dfrac{a}{a+c}}\\ \Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{b+a}+\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{c+b}\right)\\ \Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot3=\dfrac{3}{2}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)
TUYÊN TRUYỀN LOẠI CON TRẦN LÊ KIM MAI RA KHỎI OLM MỚI TUẦN TRC ĐIỂM NÓ LÀ 500 THÔI, NHG TUẦN NẦY NÓ LÊN TỚI GẦN 2000, ĐÃ LÊN NHG BỊ OLM TRỪ ĐIỂM DO SỰ TUYÊN TRUYỀN CỦA E Cảm ơn OLM đã trừ điểm con súc vật TRẦN LÊ KIM MAI ,link của nó https://olm.vn/thanhvien/kimmai123az, e rất ghi nhận sự tiến bộ về sự công bằng của olm.Nhưng vẫn còn nhìu cây mà con chó này copy nek, mong olm xét ạ https://olm.vn/hoi-dap/detail/228356929591.html////////https://olm.vn/hoi-dap/detail/228472453946.html/////https://olm.vn/hoi-dap/detail/228437567447.html//////////https://olm.vn/hoi-dap/detail/228435268921.html Vô trangh cá nhân của e sẽ thấy đc những câu trả lời \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\"siêu hay\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\" của con chóhttps://olm.vn/thanhvien/kimmai123az Nó ms lớp 7 mà lamfg đc tón 9, nó tôi bt , là một người ko đàng hoàng , siêu nói tục của OLM, 1 ví dụ điển hình cho con cái nhà ko có giáo dục, nó chửi e là thèm cặc, lồn, bướm lồn, cave, các a chị vô trang cá nhân của e , vô thống kê hỏi đáp sẽ thấy nhg lời thô tục của nó. Em đăng ko để kiếm điểm nhg để vạch trần bộ mặt của con đó, e ko cần điêm làm j, nhg nếu mn thấy đúng thì k cx đc. E ko bốc phốt con chó ấy , đang chỉ ra nhg đứa dốt nát, đi copy bài
TUYÊN TRUYỀN LOẠI CON TRẦN LÊ KIM MAI RA KHỎI OLM MỚI TUẦN TRC ĐIỂM NÓ LÀ 500 THÔI, NHG TUẦN NẦY NÓ LÊN TỚI GẦN 2000, ĐÃ LÊN NHG BỊ OLM TRỪ ĐIỂM DO SỰ TUYÊN TRUYỀN CỦA E Cảm ơn OLM đã trừ điểm con súc vật TRẦN LÊ KIM MAI ,link của nó https://olm.vn/thanhvien/kimmai123az, e rất ghi nhận sự tiến bộ về sự công bằng của olm.Nhưng vẫn còn nhìu cây mà con chó này copy nek, mong olm xét ạ https://olm.vn/hoi-dap/detail/228356929591.html////////https://olm.vn/hoi-dap/detail/228472453946.html/////https://olm.vn/hoi-dap/detail/228437567447.html//////////https://olm.vn/hoi-dap/detail/228435268921.html Vô trangh cá nhân của e sẽ thấy đc những câu trả lời \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\"siêu hay\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\" của con chóhttps://olm.vn/thanhvien/kimmai123az Nó ms lớp 7 mà lamfg đc tón 9, nó tôi bt , là một người ko đàng hoàng , siêu nói tục của OLM, 1 ví dụ điển hình cho con cái nhà ko có giáo dục, nó chửi e là thèm cặc, lồn, bướm lồn, cave, các a chị vô trang cá nhân của e , vô thống kê hỏi đáp sẽ thấy nhg lời thô tục của nó. Em đăng ko để kiếm điểm nhg để vạch trần bộ mặt của con đó, e ko cần điêm làm j, nhg nếu mn thấy đúng thì k cx đc. E ko bốc phốt con chó ấy , đang chỉ ra nhg đứa dốt nát, đi copy bài
\(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{4+\left(b+c\right)^2}+\sqrt{4+\left(a+c\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{4+\left(a+b\right)^2}+\sqrt{16+\left(a+b+2c\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{36+\left(2a+2b+2c\right)^2}=\sqrt{36+36}=6\sqrt{2}\)