Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta có: \(2\sqrt{3}=\sqrt{4\cdot3}=\sqrt{12}\)
\(3\sqrt{2}=\sqrt{9\cdot2}=\sqrt{18}\)
mà \(\sqrt{12}< \sqrt{18}\)(vì 12<18)
nên \(2\sqrt{3}< 3\sqrt{2}\)
b) Ta có: \(\left(2\sqrt{3}+1\right)^2=8+4\sqrt{3}+1=9+4\sqrt{3}\)
\(4^2=16=9+7\)
mà \(4\sqrt{3}< 7\left(\sqrt{48}< \sqrt{49}\right)\)
nên \(\left(2\sqrt{3}+1\right)^2< 4^2\)
hay \(2\sqrt{3}+1< 4\)
c) Ta có: \(\sqrt{2015}-\sqrt{2014}=\dfrac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2014}}\)
\(\sqrt{2014}-\sqrt{2013}=\dfrac{1}{\sqrt{2014}+\sqrt{2013}}\)
Ta có: \(\sqrt{2015}+\sqrt{2014}>\sqrt{2013}+\sqrt{2014}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2014}}< \dfrac{1}{\sqrt{2013}+\sqrt{2014}}\)
hay \(\sqrt{2015}-\sqrt{2014}< \sqrt{2014}-\sqrt{2013}\)
Áp dụng bđt \(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\le\sqrt{\frac{a+b}{2}}\) :
Xét : \(N-M=2\sqrt{2014}-\left(\sqrt{2015}+\sqrt{2013}\right)\)
Theo bđt trên thì \(\frac{\sqrt{2013}+\sqrt{2015}}{2}\le\sqrt{\frac{2013+2015}{2}}\Leftrightarrow\sqrt{2013}+\sqrt{2015}\le2\sqrt{2014}\)
\(\Rightarrow N-M>0\Rightarrow N>M\)
Chứng minh \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\) rồi áp dụng với n = 1,2,....,2014
Ta có: \(\sqrt{2015}-\sqrt{2014}=\dfrac{2015-2014}{\sqrt{2015}+\sqrt{2014}}>\dfrac{2016-2015}{\sqrt{2016}+\sqrt{2015}}=\sqrt{2016}-\sqrt{2015}\)
Ta có: √2015−√2014=2015−2014√2015+√2014>2016−2015√2016+√2015=√2016−√2015
