Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a/ Xét \(\Delta BMD\)ta có:
\(MD=MB\left(gt\right)\)=> \(\Delta BMD\)cân tại M
Mà \(B\widehat{M}D=A\widehat{C}B=60^0\)( 2 góc n.t chắn cung AB)
Nên \(\Delta BMD\)đều
b/ Ta có \(\hept{\begin{cases}A\widehat{B}D+D\widehat{B}C=A\widehat{B}C\\D\widehat{B}C+M\widehat{B}C=D\widehat{B}M\\A\widehat{B}C=D\widehat{B}M\left(=60^0\right)\end{cases}}\)
=> \(A\widehat{B}D=M\widehat{B}C\)
Xét \(\Delta ADB\)và \(\Delta MBC\)ta có :
\(\hept{\begin{cases}BD=BM\left(\Delta MBDđều\right)\\BA=BC\left(\Delta ABCđều\right)\\A\widehat{B}D=M\widehat{B}C\left(cmt\right)\end{cases}}\)
=> \(\Delta ADB=\Delta CMB\)(c-g-c)
=>\(AD=MC\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}AM=AD+MD\\MD=MB\left(\Delta MBDđều\right)\\AD=MC\left(cmt\right)\end{cases}}\)
=>\(AM=MB+MC\)
c/
Ta có: \(AB=AC\)<=>\(\widebat{AB}=\widebat{AC}\)
Xét \(\Delta MAB\)và\(\Delta MHC\)ta có:
\(B\widehat{A}M=H\widehat{C}M\)(2 góc n.t chắn cung MB )
\(A\widehat{M}B=H\widehat{M}C\)(2 góc n.t chắn 2 cung = nhau )
=>\(\Delta MAB\)đồng dạng\(\Delta MCH\)
=>\(\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MH}\)=>\(\frac{MA}{MB.MC}=\frac{1}{MH}\)=>\(\frac{MB+MC}{MB.MC}=\frac{1}{MH}\)=>\(\frac{1}{MB}+\frac{1}{MC}=\frac{1}{MH}\left(đpcm\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEK tại D
Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle AMB=90\Rightarrow\angle EMB+\angle EHB=90+90=180\)
\(\Rightarrow EMBH\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle KBD=\angle MBH=\angle AEH\)
Vì KEAD nội tiếp \(\Rightarrow\angle AEH=\angle KDB\Rightarrow\angle KBD=\angle KDB\)
\(\Rightarrow\Delta KDB\) cân tại K có KH là đường cao
\(\Rightarrow H\) là trung điểm BD mà B,H cố định \(\Rightarrow D\) cố định
Vì KEAD nội tiếp \(\Rightarrow I\in\) trung trực AD mà A,D cố định
\(\Rightarrow\) đpcm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
c) Theo câu b) ta có: ACF = AEC = > AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp của tam giác CEF (1)
Mặt khác, ta có: ACB = 90o (góc nội tiếp chứa đường tròn)
⇒AC⊥CB(2)
Từ (1) và (2) => CB chứa đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF, mà CB cố định nên tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF thuộc CB cố định E thay đổi trên cung nhỏ BC.
k mk nha
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bốn điểm A,B,D,C cùng nằm trên (O) theo thứ tự đó => ^BAC + ^BDC = 1800
Vì PM // AB, PN // AC nên ^MPN = ^BAC. Do đó ^MPN + ^BDC = 1800 => Tứ giác PMDN nội tiếp
Lúc này, điểm R nằm trên đường tròn ngoại tiếp tứ giác PMDN
=> ^DRP = ^DNP = ^DCA (Bởi PN // AC) = ^DRA. Ta thấy A,P nằm cùng phía so với DR nên RP trùng RA
Hay A,P,R thẳng hàng. Dễ thấy tứ giác AEPF là hình bình hành, suy ra AP chia đôi EF
Vậy nên RP cũng chia đôi EF (đpcm).
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Để OI ngắn nhất, ta cần tìm vị trí của M sao cho IM vuông góc với OE.
Gọi H là hình chiếu của I trên OE. Ta có:
Trong tam giác IHE vuông tại H, ta có IH ≤ IE.
Trong tam giác IME vuông tại I, ta có IM ≤ IE.
Do đó, ta cần tìm vị trí của M sao cho IM càng nhỏ càng tốt.
Gọi G là giao điểm của AC và BD. Khi đó, ta có:
Tam giác AFG đồng dạng với tam giác CME (do có hai góc vuông bằng nhau).
Do đó, ta có:
$\frac{IM}{IE}=\frac{CG}{AE}=\frac{CG}{AC}\cdot\frac{AC}{AE}=\frac{BG}{BD}\cdot\frac{AC}{AE}$
Vì BG = CG, nên ta có thể viết lại:
$\frac{IM}{IE}=\frac{BG}{BD}\cdot\frac{AC}{AE}=\frac{BG}{BD}\cdot\frac{AB+BC}{AB+BE}$
Ta cần tìm vị trí của M để IM đạt giá trị nhỏ nhất. Để làm được điều này, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{IM}{IE}$.
Ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM để giải bài toán này:
$\frac{IM}{IE}=\frac{BG}{BD}\cdot\frac{AB+BC}{AB+BE}\geq 2\sqrt{\frac{BG}{BD}\cdot\frac{AB+BC}{AB+BE}}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = BE.
Vậy để OI ngắn nhất, ta cần chọn M sao cho AB = BE.
20:05 Chatbot GPT