Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Bổ đề: Xét tam giác ABC cân tại A, một điểm M bất kì sao cho ^AMB = ^AMC. Khi đó MB = MC.
Bổ đề chứng minh rất đơn giản, không trình bày ở đây.
Áp dụng vào bài toán: Vì E là điểm chính giữa (BC nên EB = EC = ED => \(\Delta\)BED cân tại E
Ta có ^BAE = ^CAE (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay ^BAE = ^DAE
Áp dụng bổ đề vào \(\Delta\)BED ta được AB = AD. Khi đó AE là trung trực của BD => AE vuông góc BD
Lại có \(\Delta\)BAD ~ \(\Delta\)CFD (g.g). Mà AB = AD nên FD =FC. Từ đó EF vuông góc DC
Xét \(\Delta\)AEF có FD vuông góc AE (cmt), AD vuông góc EF (cmt) => D là trực tâm \(\Delta\)AEF (đpcm).
b) Gọi DN cắt EC tại I. Ta dễ thấy ^MDI = ^MDN = ^MBN = ^MBC = ^MEC = ^MEI
Suy ra bốn điểm D,E,M,I cùng thuộc một đường tròn => ^EMD = ^EID = 900
Nếu ta gọi MD cắt cung lớn BC của (O) tại S thì ^EMS chắn nửa (O) hay ES là đường kính của (O)
Mà E là điểm chính giữa cung nhỏ BC nên S là điểm chính giữa cung lớn BC
Do đó S là điểm cố định (Vì B,C cố định). Vậy MD luôn đi qua S cố định (đpcm).
Gọi C là điểm chính giữa cung AB của nửa đường tròn tâm O đường kính AB, M là điểm bất kì trên cung BC. Kẻ CH vuông góc với AM tại H, I là giao của OH và BC, MI cắt nửa đường tròn tâm O tại D
a. CMR: CM // DB
b. Xác định vị trí của M để D,H,B thẳng hàng
c. E là giao của AD và MB. CM: EC//DM
Để OI ngắn nhất, ta cần tìm vị trí của M sao cho IM vuông góc với OE.
Gọi H là hình chiếu của I trên OE. Ta có:
Trong tam giác IHE vuông tại H, ta có IH ≤ IE.
Trong tam giác IME vuông tại I, ta có IM ≤ IE.
Do đó, ta cần tìm vị trí của M sao cho IM càng nhỏ càng tốt.
Gọi G là giao điểm của AC và BD. Khi đó, ta có:
Tam giác AFG đồng dạng với tam giác CME (do có hai góc vuông bằng nhau).
Do đó, ta có:
$\frac{IM}{IE}=\frac{CG}{AE}=\frac{CG}{AC}\cdot\frac{AC}{AE}=\frac{BG}{BD}\cdot\frac{AC}{AE}$
Vì BG = CG, nên ta có thể viết lại:
$\frac{IM}{IE}=\frac{BG}{BD}\cdot\frac{AC}{AE}=\frac{BG}{BD}\cdot\frac{AB+BC}{AB+BE}$
Ta cần tìm vị trí của M để IM đạt giá trị nhỏ nhất. Để làm được điều này, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{IM}{IE}$.
Ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM để giải bài toán này:
$\frac{IM}{IE}=\frac{BG}{BD}\cdot\frac{AB+BC}{AB+BE}\geq 2\sqrt{\frac{BG}{BD}\cdot\frac{AB+BC}{AB+BE}}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = BE.
Vậy để OI ngắn nhất, ta cần chọn M sao cho AB = BE.
20:05 Chatbot GPT