Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sử dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{1+x^3}=\sqrt{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\le\frac{x^2-x+1+x+1}{2}=\frac{x^2+2}{2}\)
Đẳng thức xảy ra <=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=2\end{cases}}\)
Ta có \(\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{b+c}{a}\right)^2}}\ge\frac{2}{\left(\frac{b+c}{a}\right)^2+2}\)
\(=\frac{2a^2}{2a^2+\left(b+c\right)^2}\ge\frac{2a^2}{2a^2+2\left(b^2+c^2\right)}=\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Tương tự có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{b^3}{b^3+\left(a+c\right)^3}}\ge\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2}\\\sqrt{\frac{c^3}{c^3+\left(a+c\right)^3}}\ge\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}\end{cases}}\)
Cộng 3 vế BĐT trên ta được đpcm
Dấu "=" <=> a=b=c
Xét \(\sqrt{1+x^3}=\sqrt{\left(1+x\right)\left(1-x+x^2\right)}\le\frac{1+x+1-x+x^2}{2}=\frac{x^2+2}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{1+x^3}}\ge\frac{2}{x^2+2}\)
Xét \(\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}=\sqrt{\frac{1}{1+\frac{\left(b+c\right)^3}{a^3}}}\) \(=\sqrt{\frac{1}{\left(1+\frac{b+c}{a}\right)\left(1-\frac{b+c}{a}+\frac{\left(b+c\right)^2}{a^2}\right)}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{\left(1+\frac{b+c}{a}\right)\left(1-\frac{b+c}{a}+\frac{\left(b+c\right)^2}{a^2}\right)}}\ge\frac{2}{\frac{\left(b+c\right)^2}{a^2}+2}\)
\(=\frac{2a^2}{b^2+c^2+2bc+2a^2}\ge\frac{2a^2}{2b^2+2c^2+2a^2}\) (1) (cái này bạn tự quy đồng sau đó áp dụng cosi cho 2bc)
Tương tự \(\sqrt{\frac{b^3}{b^3+\left(a+c\right)^3}}\ge\frac{2b^2}{2a^2+2b^2+2c^2}\) (2) \(\sqrt{\frac{c^3}{c^3+\left(a+b\right)^3}}\ge\frac{2c^2}{2a^2+2b^2+2c^2}\) (3)
Cộng các vế của (1),(2) và (3) ta có đpcm
mình hướng dẫn thôi được không chứ mình đá bóng bị ngã nên giờ bấm giải chi tiết không nổi
thôi mình sẽ giải chi tiết luôn nhé chứ hướng dẫn khó hiểu lắm
Với x là số dương, áp dụng bđt cauchy ta có:
\(\sqrt{x^3+1}=\sqrt{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\le\frac{x+1+x^2-x+1}{2}=\frac{x^2+2}{2}\)
=> \(\sqrt{\frac{1}{x^3+1}}\ge\frac{2}{x^2+2}\left(1\right)\)
Áp dụng bđt (1) ta được:
\(\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}=\sqrt{\frac{1}{1+\left(\frac{b+c}{a}\right)^3}}\ge\frac{2}{\left(\frac{b+c}{a}\right)^2+2}=\frac{2a^2}{\left(b+c\right)^2+2a^2}\)
Suy ra \(\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}\ge\frac{2a^2}{2\left(b^2+c^2\right)+2a^2}=\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\left(2\right)\)
Tương tự ta có: \(\sqrt{\frac{b^3}{b^3+\left(c+a\right)^3}}\ge\frac{b^3}{a^3+b^3+c^3}\left(3\right);\sqrt{\frac{c^3}{c^3+\left(a+b\right)^3}}\ge\frac{c^3}{a^3+b^3+c^3}\left(4\right)\)
Cộng (2),(3),(4) vế theo vế:
\(VT\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Bài này có trong đề thi HSG 9 của huyện hay tỉnh nào đấy :)) được cái thầy t bắt cày đi cày lại cả chục cái đề thi nên bài này t nhớ lắm :))
Với x là số dương, áp dụng bđt Cô-si
\(\sqrt{x^3+1}=\sqrt{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\le\frac{x+1+x^2-x+1}{2}=\frac{x^2+2}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{x^3}}\ge\frac{2}{x^2+2}\) (*)
Dấu (=) xảy ra khi x = 2
Áp dụng bđt (*)
\(\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}=\sqrt{\frac{1}{1+\left(\frac{b+c}{a}\right)^3}}\ge\frac{2}{\left(\frac{b+c}{a}\right)^2+2}=\frac{2a^2}{\left(b+c\right)^2+2a^2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}\ge\frac{2a^2}{2\left(b^2+c^2\right)+2a^2}=\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\left(1\right)\)
CMTT :
\(\sqrt{\frac{b^3}{b^3+\left(a+c\right)^3}}\ge\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2}\) (2)
\(\sqrt{\frac{c^3}{c^3+\left(a+b\right)^3}}\ge\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}\) (3)
Cộng vế với vế của (1) ; (2) ; (3) ; ta được ĐPCM
\(\sqrt{\frac{1}{x^3}}\ge\frac{2}{x^2+2}\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{1+\left(\frac{b+c}{a}\right)^3}}\ge\frac{2}{\left(\frac{b+c}{a}\right)^2+2}\)
Có nhầm chỗ nào ko vậy bạn chứ ở dưới mẫu có cộng 1 nữa mà
Xét bất đẳng thức phụ\(\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}\ge\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow2a^2\left(b^2+c^2\right)+\left(b^2+c^2\right)^2\ge a\left(b+c\right)^3\)
Áp dụng kết hợp bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức và bất đẳng thức AM - GM, ta được: \(2a^2\left(b^2+c^2\right)+\left(b^2+c^2\right)^2\ge a^2\left(b+c\right)^2+\frac{\left(b+c\right)^4}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2\left(b+c\right)^6}{4}}=\left(b+c\right)^3\)
Vậy bất đẳng thức phụ trên là đúng. Tương tự rồi cộng lại ta được \(VT\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi 3 biến bằng nhau hoặc có 2 biến dần về 0