Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(S_{BOC}=x^2,S_{AOC}=y^2,S_{AOB}=z^2\) \(\Rightarrow S_{ABC}=S_{BOC}+S_{AOC}+S_{AOB}=x^2+y^2+z^2\)
Ta có : \(\frac{AD}{OD}=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}=\frac{AO+OD}{OD}=1+\frac{AO}{OD}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2}=1+\frac{y^2+z^2}{x^2}\)
\(\Rightarrow\frac{AO}{OD}=\frac{y^2+z^2}{x^2}\Rightarrow\sqrt{\frac{AO}{OD}}=\sqrt{\frac{y^2+z^2}{x^2}}=\frac{\sqrt{y^2+z^2}}{x}\)
Tương tự ta có \(\sqrt{\frac{OB}{OE}}=\sqrt{\frac{x^2+z^2}{y^2}}=\frac{\sqrt{x^2+z^2}}{y};\sqrt{\frac{OC}{OF}}=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{z^2}}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\)
\(\Rightarrow P=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}+\frac{\sqrt{y^2+z^2}}{x}+\frac{\sqrt{x^2+z^2}}{y}\ge\frac{x+y}{\sqrt{2}z}+\frac{y+z}{\sqrt{2}x}+\frac{x+z}{\sqrt{2}y}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(2+2+2\right)=3\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\Rightarrow S_{BOC}=S_{AOC}=S_{AOB}=\frac{1}{3}S_{ABC}\)
\(\Rightarrow\frac{OD}{OA}=\frac{OE}{OB}=\frac{OF}{OC}=\frac{1}{3}\Rightarrow\)O là trọng tâm của tam giác ABC
Vậy \(MinP=3\sqrt{2}\) khi O là trọng tâm của tam giác ABC
a)
Ta có: \(\frac{OD}{AD}=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}};\frac{OE}{BE}=\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}};\frac{OF}{CF}=\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}\)\(\Rightarrow\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{BE}+\frac{OF}{CF}=\frac{S_{BOC}+S_{AOC}+S_{AOB}}{S_{ABC}}\)
\(\Rightarrow\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{BE}+\frac{OF}{CF}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\left(ĐPCM\right)\)
b) chịu
Ta có: \(\frac{AD}{OD}=\frac{S\left(ABC\right)}{S\left(OBC\right)};\frac{BE}{OE}=\frac{S\left(BAC\right)}{S\left(OAC\right)};\frac{CF}{OF}=\frac{S\left(CBA\right)}{S\left(OBA\right)}\)
=> \(\frac{AD}{OD}+\frac{BE}{OE}+\frac{CF}{OF}=S\left(ABC\right)\left(\frac{1}{S\left(OBC\right)}+\frac{1}{S\left(OAC\right)}+\frac{1}{S\left(OAB\right)}\right)\)\(\ge S\left(ABC\right)\left(\frac{9}{S\left(OBC\right)+S\left(OAC\right)+S\left(OAB\right)}\right)=\frac{S\left(ABC\right).9}{S\left(ABC\right)}=9\)
=> \(\frac{AD}{OD}+\frac{BE}{OE}+\frac{CF}{OF}\ge9\)
=> \(\frac{AO+OD}{OD}+\frac{BO+OE}{OE}+\frac{CO+OF}{OF}\ge9\)
=> \(\frac{AO}{OD}+\frac{BO}{OE}+\frac{CO}{OF}\ge6\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(S\left(OBC\right)=S\left(OAC\right)=S\left(OAB\right)\)
vì các đoạn thẳng trong bài hiển nhiên phải dương nên
áp dụng BĐT cauchy cho 3 số thực dương:
\(\sqrt{\frac{OA}{OP}}+\sqrt{\frac{OB}{OQ}}+\sqrt{\frac{OC}{OR}}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{OA}{OP}.\frac{OB}{OQ}.\frac{OC}{OR}}}\)(1)
xét tích \(\frac{OA}{OP}.\frac{OB}{OQ}.\frac{OC}{OR}=\left(\frac{AP}{OP}-1\right)\left(\frac{BQ}{OQ}-1\right)\left(\frac{CR}{OR}-1\right)\)(2)
áp dụng hệ quả định lý tales:OK//AH(cùng vuông góc với BC)
\(\rightarrow\frac{AP}{OP}=\frac{AH}{OK}=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}\)(2 tam giác chung cạnh đáy)
làm tương tự :\(\frac{BQ}{OQ}=\frac{S_{ABC}}{S_{AOC}}\);\(\frac{CR}{OR}=\frac{S_{ABC}}{S_{AOB}}\)
thế vào (2): \(\left(\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}-1\right)\left(\frac{S_{ABC}}{S_{AOC}}-1\right)\left(\frac{S_{ABC}}{S_{AOB}}-1\right)=\frac{\left(S_{AOB}+S_{AOC}\right)\left(S_{AOB}+S_{BOC}\right)\left(S_{AOC}+S_{BOC}\right)}{S_{AOB}.S_{BOC}.S_{AOC}}\)
để biểu thực gọn hơn ta đặt \(\left\{\begin{matrix}S_{AOB}=x\\S_{AOC}=y\\S_{BOC}=z\end{matrix}\right.\),biểu thức trở thành
\(\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\)
áp dụng BĐT cauchy cho 2 số dương:\(\left\{\begin{matrix}a+b\ge2\sqrt{ab}\\b+c\ge2\sqrt{bc}\\c+a\ge2\sqrt{ac}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\ge8\)(3)
từ (1),(2) và (3):\(\sqrt{\frac{OA}{OP}}+\sqrt{\frac{OB}{OQ}}+\sqrt{\frac{OC}{OR}}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{8}}=3\sqrt[3]{\left(\sqrt{2}\right)^3}=3\sqrt{2}\)
dấu = xảy ra khi:\(\left\{\begin{matrix}\frac{OA}{OP}=\frac{OB}{OQ}=\frac{OC}{OR}\\S_{AOB}=S_{BOC}=S_{COA}\end{matrix}\right.\)chứng tỏ O là trọng tâm của tam giác ABC
