Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có: A=11..1 + 44..4+1
2n c/s 1 n c/s 4
biến đổi \(A=111..1+4.11...1+1\)
\(A=\frac{10^{2n}-1}{9}+4.\frac{10^n-1}{9}+1=\frac{10^{2n}+4.10^n+4}{9}\)
\(A=\frac{\left(10^n+2\right)^2}{9}=\frac{\left(10..02\right)^2}{9}=\left(3...34\right)^2\) luôn là 1 số chính phương(đpcm)
bn tự bổ sung thêm những chỗ mk viết thiếu'... chữ số' nhé
n-1 c/s 3
Ta dễ dàng chứng minh được công thức: \(111...1=\frac{10^n-1}{9}\)
(n số 1)
Áp dụng công thức trên ta có:
\(a+b+1=111...1.10^n+111...1+111...1.4+1\)
(n số 1) (n số 1) (n số 1)
\(=\frac{10^n-1}{9}.\left(10^n+1+4\right)+1\)
\(=\frac{10^n-1}{9}.\left(10^n+1+4+3\right)-\frac{10^n-1}{9}.3+1\)
\(=\frac{10^n-1}{9}.\left(10^n+8\right)-\frac{10^n-1}{3}+1\)
\(=111...1.3.333...36-333...3+1\)
(n số 1) (n - 1 số 3) (n số 3)
\(=333...3.333...36-333...32\)
(n số 3)(n - 1 số 3)(n - 1 số 3)
\(=333...3.333...34+333...3+333...3-333...32\)
(n số 3)(n - 1 số 3)(n số 3) (n số 3) (n - 1 số 3)
\(=333...34^2\), là số chính phương (đpcm)
(n - 1 số 3)
Ta có: M + N + 1 = 111...1 + 444...4 + 1
(2n c/s 1)(n c/s 4)
= 111...1 x 1000...0 + 111...1 + 111...1 x 4 + 1
(n c/s 1) (n c/s 0) (n c/s 1) (n c/s 1)
= 111...1 x (1000...0 + 1 + 4) + 1
(n c/s 1) (n c/s 0)
= 111...1 x 1000...05 + 1
(n c/s 1) (n-1 c/s 0)
= 111...1 x 3 x 333...35 + 1
(n c/s 1) (n-1 c/s 3)
= 333...3 x 333...35 + 1
(n c/s 1) (n-1 c/s 3)
= 333...3 x 333...34 + 333...3 + 1
(n c/s 3) (n-1 c/s 3) (n c/s 3)
= 333...3 x 333...4 + 333...34
(n c/s 3) (n-1 c/s 3) (n-1 c/s 3)
= 333...342 là số chính phương (đpcm)
(n-1 c/s 3)
Ta chứng minh được
\(\overline{aaa....a}\) ( n số a)
\(=\frac{\left(10^n-1\right)}{9}.a\)
\(\Rightarrow M+N+1=\frac{\left(10^{2n}-1\right)}{9}+\frac{\left(10^n-1\right)}{9}.4+1\)
\(\Rightarrow M+N+1=\frac{\left(10^{2n}-1\right)+\left(10^n-1\right)4+9}{9}\)
\(\Rightarrow M+N+1=\frac{10^{2n}-1+4.10^n-4+9}{9}\)
\(\Rightarrow M+N+1=\frac{10^{2n}+4.10^n+4}{9}\)
\(\Rightarrow M+N+1=\frac{\left(10^n\right)^2+2.10^n.2+2^2}{9}\)
\(\Rightarrow M+N+1=\frac{\left(10^n+2\right)^2}{9}\)
\(\Rightarrow M+N+1=\left[\frac{\left(10^n+2\right)}{3}\right]^2\)
Mặt khác \(10^n+2=100...02\) ( n - 1 ) số 0
Tổng chữ số \(=1+0\left(n-1\right)+2=3⋮3\)
=> \(10^n+2⋮3\)
=> \(\frac{\left(10^n+2\right)}{3}\in N\)
\(\Rightarrow\left[\frac{\left(10^n+2\right)}{3}\right]^2\) là số chính phương
=> M+N+1 là số chình phương
Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thì
A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2
V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z
Vậy A là số chính phương.