Question

[Tăng Tuấn Anh]

1)cho x,y,z la 3 so thực thõa mãn x+y+z=6 va x² + y²+ z²=12. Tính giá trị của biểu thức Q=(x-3)²⁰¹⁶ +(y-3)²⁰¹⁶ +(z-3)²⁰¹⁶

2) Chứng minh rằng 2²ⁿ(2²ⁿ⁺¹ -1) -1 chia hết cho 9 ( n là số nguyên, n >=1)

Answer 1

[Thiên An]

1) Từ \(x+y+z=6\)  và \(x^2+y^2+z^2=12\)ta dễ dàng suy ra \(xy+yz+zx=12\)

Như vậy \(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\) \(\Leftrightarrow x=y=z\)

Mà \(x+y+z=6\)nên \(x=y=z=2\)thay vào Q ta tính được Q = 3.

Answer 2

[Jin Air]

Bài dưới mình có làm ra được 2 cách, bạn hiểu cách nào thì làm

Cách 1: Dùng phương pháp quy nạp (cách này mình cũng không biết được sử dụng trong trg hợp này ko)

-Với n=1 thì \(2^{2n}\left(2^{2n+1}-1\right)-1=2^2\left(2^3-1\right)-1=4.8-1=27\)chia hết cho 9

Vậy mệnh đề đúng với n=1

-Giả sử tồn tại số k sao cho \(2^{2k}\left(2^{2k+1}-1\right)-1\) chia hết cho 9 (giả thiết quy nạp). Do đó,  \(2^{2k}\left(2^{2k+1}-1\right)\)chia 9 dư 1

Ta phải cm mệnh đề cũng đúng với k+1:

Thật vậy, \(2^{2\left(k+1\right)}\left(2^{2\left(k+1\right)+1}-1\right)-1=2^{2k+2}\left(2^{2k+3}-1\right)-1=2^{2k+4}\left(2^{2k+1}-\frac{1}{4}\right)-1\)

<=> \(2^{2k+4}\left(2^{2k+1}-1\right)+\frac{3}{4}\left(2^{2k+4}\right)-1=2^{2k}.16.\left(2^{2k+1}-1\right)+3.2^{2k+2}-1\)

Ta thấy:

\(2^{2k}\left(2^{2k+1}-1\right)\)chia 9 dư 1. Do đó, \(2^{2k}.16.\left(2^{2k+1}-1\right)\)chia 9 dư 7.

Các số có cơ số =2, số mũ lẻ thì tích của số đó với 3 khi chia 9 dư 6. Còn các số có cơ số =2, số mũ chẵn thì tích của số đó với 3 khi 9 dư 3. Vậy tích \(3.2^{2k+2}\) chia 9 dư 3

-1 chia 9 dư -1

Vậy \(2^{2k+4}\left(2^{2k+1}-1\right)+3.2^{2k+2}-1\)chia 9 dư 7+3-1=9 chia hết cho 9

Kết luận: Mệnh đề đúng với mọi n thuộc Z