Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(ax^3=by^3=cz^3\Leftrightarrow\dfrac{ax^2}{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{by^2}{\dfrac{1}{y}}=\dfrac{cz^2}{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}=ax^2+by^2+cz^2\Leftrightarrow\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{ax^3}=\sqrt[3]{by^3}=\sqrt[3]{cz^3}=\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\dfrac{1}{x}}+\dfrac{\sqrt[3]{b}}{\dfrac{1}{y}}+\dfrac{\sqrt[3]{c}}{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\)Vậy \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\)
Đầu tiên chứng minh:
\(\left(a^2x+b^2y+c^2z\right)\left(yz+zx+xy\right)\ge xyz\left(a+b+c\right)^2\)
\(=xyz\left(x+z+y\right)^2\ge3xyz\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow a^2x+b^2y+c^2z\ge3xyz\)
Tương tự có:
\(x^2a+y^2b+z^2c\ge3abc\)
\(\Rightarrow\) ĐPCM
Q=\(\left(1+\dfrac{a}{x}\right)\left(1+\dfrac{a}{y}\right)\left(1+\dfrac{a}{z}\right)\)
\(Q=\left(\dfrac{x+a}{x}\right)\left(\dfrac{y+a}{y}\right)\left(\dfrac{z+a}{z}\right)\)\
=\(\left(\dfrac{2x+y+z}{x}\right)\left(\dfrac{2y+x+z}{y}\right)\left(\dfrac{2z+x+y}{z}\right)\)
=\(\dfrac{\left(2x+y+z\right)\left(2y+x+z\right)\left(2z+x+y\right)}{xyz}\)
ÁP dụng BĐT cô si
\(2x+y+z=x+x+y+z\ge4\sqrt[4]{x^2yz}\)
\(2y+x+z=y+y+x+z\ge4\sqrt[4]{y^2xy}\)
\(2z+y+x=z+z+x+y\ge4\sqrt[4]{z^2xy}\)
=> Q\(\ge\dfrac{64.\sqrt[4]{x^4y^4z^4}}{xyz}=64\)
=> MinQ=64 khi x=y=z=a/3
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được : \(\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(ax+by+cz\right)^2=\left(3ax\right)^2=30^2=90\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)\ge90\)
Xin lỗi bạn nhé ^^
Tại vội quá nên mình nhìn lộn. Phải là 900 mới đúng.
Nhưng như vậy thì có thể đề bài chưa đúng.