CC
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
H
2
PA
7 tháng 7 2017
Kẻ đường cao AD, BE và CF.
\(\Delta AEF~\Delta ABC\left(c.g.c\right)\Rightarrow\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AE}{AB}\right)^2=\cos^2A\)
\(\Delta BFD~\Delta BCA\left(c.g.c\right)\Rightarrow\dfrac{S_{BFD}}{S_{BCA}}=\left(\dfrac{BF}{BC}\right)^2=\cos^2B\)
\(\Delta CDE~\Delta CAB\left(c.g.c\right)\Rightarrow\dfrac{S_{CDE}}{S_{CAB}}=\left(\dfrac{CE}{CB}\right)^2=\cos^2C\)
\(\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=3-\left(\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C\right)\)
\(=3-\left(\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{BFD}}{S_{BCA}}+\dfrac{S_{CDE}}{S_{CAB}}\right)>3-\dfrac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=2\left(\text{đ}pcm\right)\)
6 tháng 9 2019
Ta có:
\(A + B + C = π \Rightarrow C = π - (A + B) \Rightarrow cosC = cos[π - (A + B)] = - cos(A + B)
\)
\(P = Sin^2A+Sin^2B+Sin^2C = \dfrac{1 - cos2A}2 + \dfrac{1 - cos2B}2 + 1 - cos^2C\)
\(= 2 - \dfrac{cos2A + cosB}2 - cos^2(A+B)\)
\(= 2 - cos(A+B).cos(A-B) - cos^2(A+B)\)
\(= 2 - cos(A+B)[cos(A-B) + cos(A+B)]\)
\(= 2 - cos(A+B).2cosA.cosB\)
\(= 2 + 2.cosC.cosA.cosB
\)
\(A ,B , C\) là các góc nhọn \(\Rightarrow\) \(cosC.cosA.cosB > 0\)
\(\Rightarrow\) \(P = Sin^2A+Sin^2B+Sin^2C > 2\)
20 tháng 7 2016
Trước tiên ta chứng minh bài toán phụ: công thức tính diện tích tam giác ABC có góc A nhọn \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A\)
Giải: Kẻ đường cao BH thì \(BH=AB.\sin A\)do đó \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC.BH=\frac{1}{2}AC.AB.\sin A\)
Ta quay trở lại việc giải bài toán trên. (hình bạn tự vẽ nhé!)
Ta có \(S_{DEF}=S_{ABC}-S_{AEF}-S_{BDF}-S_{CDE}\)suy ra \(\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}}=1-\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}-\frac{S_{BDF}}{S_{ABC}}-\frac{S_{CDE}}{S_{ABC}}.\)
Áp dụng bài toán phụ ta có \(\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}AE.AF.\sin A}{\frac{1}{2}AB.AC.\sin A}=\frac{AE.AF}{AB.AC}=\frac{AF}{AC}.\frac{AE}{AB}\)
Trong các tam giác vuông ACF và ABE có: \(\cos A=\frac{AF}{AC}\)và \(\cos A=\frac{AE}{AB}\)
Do đó \(\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\cos^2A\)tương tự \(\frac{S_{BDF}}{S_{ABC}}=\cos^2B\)và \(\frac{S_{CDE}}{S_{ABC}}=\cos^2C\)
Vậy \(\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}}=\left(1-\cos^2A\right)-\cos^2B-\cos^2C=\sin^2A-\cos^2B-\cos^2C.\)
Hay \(S_{DEF}=\left(\sin^2A-\cos^2B-\cos^2C\right).S_{ABC}=\sin^2A-\cos^2B-\cos^2C\)(do \(S_{ABC}=1\)).
22 tháng 7 2023
Kẻ đường cao AH của tam giác ABC
\(sinC=\dfrac{AH}{AC}\)
\(sinB=\dfrac{AH}{AB}\)
\(\Rightarrow\dfrac{sinB}{sinC}=\dfrac{\dfrac{AH}{AB}}{\dfrac{AH}{AC}}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{b}{c}\Rightarrow\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}\left(1\right)\)
Kẻ đường cao CE của tam giác ABC rồi CMTT ta được:
\(\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
