Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) Sửa lại:Cho x,y,z dương nhé!
\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=x\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+y\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+z\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(=1+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+1+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+1=\left(1+1+1\right)+\left(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}\right)\)
\(=3+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)\)
Vì x,y,z là các số dương ,ta áp dụng bất đẳng thức Cô-Si:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)
\(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\sqrt{\frac{y}{z}.\frac{z}{y}}=2\)
\(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\ge2\sqrt{\frac{z}{x}.\frac{x}{z}}=2\)
Do đó \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge3+2+2+2=9\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z\)
câu 2) mk chịu
câu 2 đề sai . sửa số 3 thành số 2 . neu sua thanh co 2 thi co the ap dung bdt cosi hoac trebusep
Lời giải :
Đặt \(\frac{a}{b}=t\Leftrightarrow\frac{b}{a}=\frac{1}{t}\)
BĐT \(\Leftrightarrow t^2+\frac{1}{t^2}+4\ge3\left(t+\frac{1}{t}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(t+\frac{1}{t}\right)^2-3\left(t+\frac{1}{t}\right)+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(t+\frac{1}{t}-1\right)\left(t+\frac{1}{t}-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{t^2-t+1}{t}\cdot\frac{t^2-2t+1}{t}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(t^2-t+1\right)\left(t-1\right)^2}{t^2}\ge0\)( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow\frac{a}{b}=1\Leftrightarrow a=b\)
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c
dự đoán của Thần thánh
\(\frac{ab}{a^2+b^2}=\frac{a^2}{2a^2}=\frac{1}{2}\)
\(VT=\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=\frac{12}{8}+\frac{18}{8}=\frac{30}{8}=\frac{15}{4}\)
\(p=\frac{ab}{a^2+b^2}+....+\frac{ca}{c^2+a^2};A=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C}\right)\)
áp dụng BDT cô si ta có
\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{\left(a^2+b^2\right)}{\frac{4}{9}}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\frac{4}{9}}}=\frac{2}{\frac{2}{3}}\sqrt{ab}=3\sqrt{ab}\)
tương tự với các BDT còn lại suy ra
\(p+\frac{9}{4}\left(2a^2+2b^2+2c^2\right)\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\)
\(P+\frac{9}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)
áp dụng BDT cô si ta có
\(a^2+\frac{1}{9}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{9}}=\frac{2a}{3}\)
tương tự với b^2+c^2 ta được
\(a^2+b^2+c^2+\frac{1}{3}\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)
" thay 1/3 vào ta được
\(p+\frac{3}{2}\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)
áp dụng BDT cô si dạng " Rei " " luôn đúng với những bài ngược dấu "
\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=3\sqrt[3]{abc}\)
mà \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
thay a+b+c=1 vào ta được
\(P+\frac{3}{2}\ge3\Leftrightarrow P\ge\frac{6}{2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\) " 1 "
bây giờ tính nốt con \(A=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
áp dụng BDT \(\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{1}{a+b+c}\)
\(A=\frac{9}{4}.\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{9}{4}\left(\frac{1}{a+b+c}\right)\)
mà a+b+C=1 suy ra
\(A\ge\frac{9}{4}\) "2"
từ 1 và 2 suy ra
\(VT=P+A\ge\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=\frac{12}{8}+\frac{18}{8}=\frac{30}{8}=\frac{15}{4}\)
" đúng với dự đoán của thần thánh "
Đặt \(\left(\frac{a-b}{c},\frac{b-c}{a},\frac{c-a}{b}\right)\rightarrow\left(x,y,z\right)\)
Khi đó:\(\left(\frac{c}{a-b},\frac{a}{b-c},\frac{b}{c-a}\right)\rightarrow\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\right)\)
Ta có:
\(P\cdot Q=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}\)
Mặt khác:\(\frac{y+z}{x}=\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\cdot\frac{c}{a-b}=\frac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}\cdot\frac{c}{a-b}\)
\(=\frac{c\left(a-b\right)\left(c-a-b\right)}{ab\left(a-b\right)}=\frac{c\left(c-a-b\right)}{ab}=\frac{2c^2}{ab}\left(1\right)\)
Tương tự:\(\frac{x+z}{y}=\frac{2a^2}{bc}\left(2\right)\)
\(=\frac{x+y}{z}=\frac{2b^2}{ac}\left(3\right)\)
Từ ( 1 );( 2 );( 3 ) ta có:
\(P\cdot Q=3+\frac{2c^2}{ab}+\frac{2a^2}{bc}+\frac{2b^2}{ac}=3+\frac{2}{abc}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Ta có:\(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3=-c^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
Khi đó:\(P\cdot Q=3+\frac{2}{abc}\cdot3abc=9\)
ban chuyen ve tao hang dang thuc thu 2 . sau do dung co si hoac bunhia ngc .( neu dung cosi thi them tri tuyet doi , con d amung bunhia thi ko lo duong hay am
Xét hiệu: \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+4-3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2+2-3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\left(1\right)\)
Đặt \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=A\) , (1) trở thành: \(A^2-3A+2=A^2-A-2A+2=A\left(A-1\right)-2\left(A-1\right)=\left(A-1\right)\left(A-2\right)\)
+Nếu a,b cùng dấu ,ta có: \(A=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\) \(\ge2\) (c/m = biến đổi tương đương)
Do đó \(\left(A-1\right)\left(A-2\right)\ge0\),Dấu "=" xảy ra <=> a=b
+Nếu a,b trái dấu ,ta có: \(A=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le-2\)
do đó \(\left(A-1\right)\left(A-2\right)\ge0\),Dấu "=" xảy ra <=> a=-b
Từ đó suy ra đpcm