Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a^4+b^4-a^3b-ab^3=a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)=\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)=\left(a-b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\)
Có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2\ge0\\a^2+ab+b^2>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge0\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
Áp dụng BĐT cosi với 2 số không âm:
`a^4+b^4+b^4+b^4>=4\root4{a^4b^12}=4|ab^3|>=4ab^3`
Hoàn toàn tương tự:
`b^4+a^4+a^4+a^4>=4a^3b`
`=>a^4+b^4+b^4+b^4+b^4+a^4+a^4+a^4>=4ab^3+4a^3b`
`<=>4(a^4+b^4)>=4(ab^3+a^3b)`
`<=>a^4+b^4>=ab^3+a^3b`
Lời giải:
Kiểu như bạn muốn biến đổi $a^4-b^4$ về dạng có liên quan đến $a+b,ab$ ấy hả?
$a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)[(a+b)^2-2ab]$
Nếu $a^4\geq b^4$ thì: $a^4-b^4=\sqrt{(a-b)^2}(a+b)[(a+b)^2-2ab]$
$=\sqrt{(a+b)^2-4ab}(a+b)[(a+b)^2-2ab]$
Nếu $a^4< b^4$ thì $a^4-b^4=-\sqrt{(a+b)^2-4ab}(a+b)[(a+b)^2-2ab]$
a^2/b+b^2/a>=a+b
=>a^3+b^3>=ab(a+b)
=>a^3+b^3-a^2b-ab^2>=0
=>a^2(a-b)+b^2(b-a)>=0
=>(a-b)^2(a+b)>=0(luôn đúng)
dễ lăm chỉ cần áp dụng bài toán phụ a2+b2>=2ab là ra chúc bạn làm được bài tốt nhé mình chỉ gợi ý cho thôi
giả sử: a4 + b4+c4+1 > 2a( ab2-a+c+1)
<=> a^4-2(ab)^2 + b^4 + a^2-2ac+c^2 + a^2-2a+1>0 ( bạn chuyển vế rùi tách ra như mình nha)
<=> (a^2-b^2)^2 + (a-c)^2 + (a-1)^2 >0 (1)
nhận thấy (a^2-b^2)^2>=0
(a-c)^2>=0
(a-1)^2 >= 0
=> (1) luôn đúng
a4+b4 -a3b-b3a >_ 0
a3.(a-b) + b3.(b-a) >_ 0
a3.(a+b)-b3 (a-b) >_0 ( đổi dấu )
(a-b)(a3- b3)>_0
(a-b)(a-b)(a2+ab+b2) >_0 (1)
(a-b)2(a2+ab+b2) >_0 ta có a2+ab+b2 = a2+ab+1/4b2 +3/4b2 = (a+1/2b)2+3/4b2 lớn hơn hoặc =0
mà (a-b)2 luôn >_ 0 nên (1) lớn hơn hoặc=0
suy ra điều phải chứng minh. dấu = xảy ra khi a=b=0
Xét hiệu: a4 + b4 - ( a3b + b3a)
= (a4 -a3b) - ( b3a- b4) = a3(a-b) - b3(a-b) = (a-b)(a3 - b3) = (a-b)2(a2 + ab + b2)
= (a-b)2((a + b/2)2 + 3b2/4) \(\ge0\) với mọi a; b.
Vậy a4 + b4 - ( a3b + b3a) \(\ge0\)Hay a4 + b4 \(\ge\) a3b + b3a (ĐPCM)