Question

[Nguyễn Thái Anh]

Ba cạnh của 1 tam giác vuông có các độ dài là các số nguyên, 2 trong các số đó là các số nguyên tố có hiệu bằng 50. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất có thể được của cạnh thứ 3.

Answer 1

[Nguyễn Thái Anh]

TH1: 2 cạnh nguyên tố đó là 2 cạnh góc vuông lần lượt: a;a+50a;a+50

Khi đó, cạnh huyền: a2+(a+50)2−−−−−−−−−−−√=2a2+100a+2500−−−−−−−−−−−−−−−√a2+(a+50)2=2a2+100a+2500

Với a=5 (loại).

Với a khác 5, có: a2≡1or4(mod5)→2a2+100a+2500≡2or3(mod5)a2≡1or4(mod5)→2a2+100a+2500≡2or3(mod5) kg là SCP.

Vậy TH này loại.

TH2: 1 cạnh huyền, 1 cạnh góc vuông: a;a+50a;a+50

Cạnh góc vuông còn lại: (a+50)2−a2−−−−−−−−−−−√=100a+2500−−−−−−−−−−√=10.a+25−−−−−√(a+50)2−a2=100a+2500=10.a+25

Đặt: a+25−−−−−√=t→a+25=t2⇔a=(t−5)(t+5)→t−5=1⇔t=6⇔a=11a+25=t→a+25=t2⇔a=(t−5)(t+5)→t−5=1⇔t=6⇔a=11 (đúng)

Vậy số đo 3 cạnh nhỏ nhất là: 11;60;6111;60;61 (11,61 nguyên tố)

Vậy đáp số giá trị nhỏ nhất của cạnh thứ 3: 60