Question

[Việt Hà]

1.000 con khỉ sống trong một tòa nhà rất lớn. Ngôi nhà được trang bị 1.000 bóng đèn. Mỗi bóng đèn có công tắc riêng được đánh số từ 1 đến 1.000.

Lúc đó, tất cả các bóng đèn đang tắt. Trời chuyển tối, lũ khỉ muốn bật chúng lên theo cách sau:

Con khỉ thứ nhất bật tất cả công tắc là bội số của 1.

Con khỉ thứ hai bật tất cả công tắc là bội số của 2.

Con khỉ thứ ba bật tất cả công tắc là bội số của 3.

Con khỉ thứ tư bật tất cả công tắc là bội số của 4.

Những con khỉ khác bật các công tắc có số là bội số của thứ tự của nó.

Vậy, cuối cùng, những bóng đèn nào sẽ sáng?

Answer 1

[Trương Quang Hải]

31 bóng sẽ sáng. Đó là bóng số 1 và những bóng có số thứ tự là những số chính phương nhỏ hơn 1000. Bởi vì để 1 bóng sáng tức phải có N lẻ lần nhấn vào công tắc. Mà 1 công tắc chỉ được nhấn bởi các ước số của nó (do 1 con khỉ chỉ bấm vào công tắc là bội số của nó). Do đó ta phải có số lượng ước số của 1 bóng đèn là lẻ thì nó mới sáng được. Điều này chỉ thỏa với số 1 và các số chính phương. Do số 1 chỉ có 1 ước là 1. Trường hợp số chính phương là 1 số được bình phương từ 1 số nhỏ hơn. Do đó trong bộ ước số của nó ngoài các cặp ước số thì xuất hiện 1 ước số không có cặp. Điều này là thỏa yêu cầu số lượng ước số là lẻ. Do đó các bóng sáng được là 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,64,81,100,... Cứ thế đến 961 = 31 *31.

Answer 2

[Hậu duệ mặt trời]

Những bóng đèn sẽ sáng là:1;2;3;4;5;6;7;...;998;999;1000