Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Bổ đề: Xét tam giác ABC cân tại A, một điểm M bất kì sao cho ^AMB = ^AMC. Khi đó MB = MC.
Bổ đề chứng minh rất đơn giản, không trình bày ở đây.
Áp dụng vào bài toán: Vì E là điểm chính giữa (BC nên EB = EC = ED => \(\Delta\)BED cân tại E
Ta có ^BAE = ^CAE (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay ^BAE = ^DAE
Áp dụng bổ đề vào \(\Delta\)BED ta được AB = AD. Khi đó AE là trung trực của BD => AE vuông góc BD
Lại có \(\Delta\)BAD ~ \(\Delta\)CFD (g.g). Mà AB = AD nên FD =FC. Từ đó EF vuông góc DC
Xét \(\Delta\)AEF có FD vuông góc AE (cmt), AD vuông góc EF (cmt) => D là trực tâm \(\Delta\)AEF (đpcm).
b) Gọi DN cắt EC tại I. Ta dễ thấy ^MDI = ^MDN = ^MBN = ^MBC = ^MEC = ^MEI
Suy ra bốn điểm D,E,M,I cùng thuộc một đường tròn => ^EMD = ^EID = 900
Nếu ta gọi MD cắt cung lớn BC của (O) tại S thì ^EMS chắn nửa (O) hay ES là đường kính của (O)
Mà E là điểm chính giữa cung nhỏ BC nên S là điểm chính giữa cung lớn BC
Do đó S là điểm cố định (Vì B,C cố định). Vậy MD luôn đi qua S cố định (đpcm).
a)
Ta có ˆADC=ˆAEC=90oADC^=AEC^=90o (do AD, CE là đường cao của ΔABCΔABC)
⇒D,E⇒D,E cùng nhìn cạnh ACAC dưới một góc là 90o90o
nên AEDCAEDC nội tiếp đường tròn đường kính (AC).
b)
Ta có BFBF ta đường kính (O)
nên ˆBAF=90oBAF^=90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))
⇒FA⊥AB⇒CH//FA⇒FA⊥AB⇒CH//FA (do cùng vuông góc với AB)
Tương tự ˆBCF=90o⇒AH//CFBCF^=90o⇒AH//CF do cùng ⊥BC⊥BC
⇒AHCF⇒AHCF là hình bình hành hai đường chéo AC,HFAC,HF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường mà GG là trung điểm của ACAC nên GG là trung điểm của HF.
tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABG chạy trên đường tròn O