TN
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TH
2
KT
21 tháng 8 2018
\(ab+bc+ca=0\)
=> \(\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\)
=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\)\(\frac{1}{b}=y;\)\(\frac{1}{c}=z\)
Ta có: \(x+y+z=0\)
=> \(x^3+y^3+z^3=3xyz\) (tự c/m, ko c/m đc ib)
hay \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)
\(B=\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=\frac{abc}{a^3}+\frac{abc}{b^3}+\frac{abc}{c^3}=abc.\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)
\(=abc.\frac{3}{abc}=3\)
D
0
KN
1
PN
4 tháng 4 2016
Sai đề rồi nha bạn!
Đề: Cho \(a,b,c>0\) thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}.\) Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}<\frac{1}{abc}\)
Lời giải:
Với mọi \(a,b,c\in R\) thì ta luôn có:
\(a^2+b^2+c^2\ge2bc+2ca-2ab\) \(\left(\text{*}\right)\)
Ta cần chứng minh \(\left(\text{*}\right)\) là bất đẳng thức đúng!
Thật vậy, từ \(\left(\text{*}\right)\) \(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b-c\right)^2\ge0\) \(\left(\text{**}\right)\)
Bất đẳng thức \(\left(\text{**}\right)\) hiển nhiên đúng với mọi \(a,b,c\) , mà các phép biến đổi trên tương đương
Do đó, bất đẳng thức \(\left(\text{*}\right)\) được chứng minh.
Xảy ra đẳng thức trên khi và chỉ khi \(a+b=c\)
Mặt khác, \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}\) (theo giả thiết)
Mà \(\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}<2\)
\(\Rightarrow\) \(a^2+b^2+c^2<2\) \(\left(\text{***}\right)\)
Từ \(\left(\text{*}\right)\) kết hợp với \(\left(\text{***}\right)\), ta có thể viết 'kép' lại: \(2bc+2ca-2ab\le a^2+b^2+c^2<2\)
Suy ra \(2bc+2ca-2ab<2\)
Khi đó, vì \(abc>0\) (do \(a,b,c\) không âm) nên chia cả hai vế của bất đẳng trên cho \(2abc\), ta được:
\(\frac{2bc+2ca-2ab}{2abc}<\frac{2}{2abc}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}<\frac{1}{abc}\)
Vậy, với \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}\) thì ta luôn chứng minh được:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}<\frac{1}{abc}\)
NM
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 12 2020
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)
\(\Rightarrow a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3a^2b^2c^2\)
Ta có:
\(\dfrac{bc}{a^2}+\dfrac{ac}{b^2}+\dfrac{ab}{c^2}=\dfrac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{a^2b^2c^2}=\dfrac{3a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}=3\)
24 tháng 8 2021
c: Ta có: \(a\left(a+2b\right)^3-b\left(2a+b\right)^3\)
\(=a^4+6a^3b+12a^2b^2+8ab^3-8a^3b-12a^2b^2-6ab^3-b^4\)
\(=a^4-2a^3b+2ab^3-b^4\)
\(=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)-2ab\left(a^2-b^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)^3\cdot\left(a+b\right)\)
HN
1
ND
Nguyễn Đức Trí
VIP
20 tháng 8 2023
Ta có :
\(\left(a-b-c\right)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ac\)
mà theo đề bài \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)
\(\Rightarrow\left(a-b-c\right)^2=-ab-bc-ac=0\)
\(\Rightarrow\left(a-b-c\right)^2=-\left(ab+bc+ac\right)=0\)
mà \(-\left(ab+bc+ac\right)\le0\)
\(\Rightarrow a=b=c=0\)
\(\Rightarrow dpcm\)
a2+b2+c2=1a2+b2+c2=1
|a|;|b|;|c|≤1|a|;|b|;|c|≤1
−1≤a;b;c≤1−1≤a;b;c≤1
(a+1)(b+1)(c+1)≥0(a+1)(b+1)(c+1)≥0
ab+bc+ac+a+b+c+1+abc≥0(1)ab+bc+ac+a+b+c+1+abc≥0(1)
Mặt khác ta có :
(1+a+b+c)2≥0(1+a+b+c)2≥0
a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)+2(a+b+c)+1≥0a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)+2(a+b+c)+1≥0
2(a+b+c+ab+bc+ac+1)≥02(a+b+c+ab+bc+ac+1)≥0
(a+b+c+ab+bc+ac+1)≥0(2)(a+b+c+ab+bc+ac+1)≥0(2)
trong nâng cao và phát triển có bài này thật đấy