DT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 10 2019
Lời giải:
Điều kiện đề bài đã cho tương đương với:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}-1+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{a+d}-1=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a}{a+b}-\frac{c}{b+c}+\frac{c}{c+d}-\frac{a}{a+d}=0\)
\(\Leftrightarrow a(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a+d})+c(\frac{1}{d+c}-\frac{1}{b+c})=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a(d-b)}{(a+b)(a+d)}+\frac{c(b-d)}{(d+c)(b+c)}=0\)
\(\Leftrightarrow (d-b)(\frac{a}{(a+b)(a+d)}-\frac{c}{(c+d)(c+b)})=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(d-b)(a-c)(bd-ac)}{(a+b)(a+d)(c+d)(c+b)}=0\)
\(\Rightarrow (d-b)(a-c)(bd-ac)=0\)
Mà $a,b,c,d$ đôi một khác nhau nên suy ra $bd-ac=0$
$\Rightarrow bd=ac$
$\Rightarrow abcd=(bd)^2$ là số chính phương với mọi $a,b,c,d$ nguyên dương.
Ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 9 2019
Lời giải:
Điều kiện đề bài đã cho tương đương với:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}-1+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{a+d}-1=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a}{a+b}-\frac{c}{b+c}+\frac{c}{c+d}-\frac{a}{a+d}=0\)
\(\Leftrightarrow a(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a+d})+c(\frac{1}{d+c}-\frac{1}{b+c})=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a(d-b)}{(a+b)(a+d)}+\frac{c(b-d)}{(d+c)(b+c)}=0\)
\(\Leftrightarrow (d-b)(\frac{a}{(a+b)(a+d)}-\frac{c}{(c+d)(c+b)})=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(d-b)(a-c)(bd-ac)}{(a+b)(a+d)(c+d)(c+b)}=0\)
\(\Rightarrow (d-b)(a-c)(bd-ac)=0\)
Mà $a,b,c,d$ đôi một khác nhau nên suy ra $bd-ac=0$
$\Rightarrow bd=ac$
$\Rightarrow abcd=(bd)^2$ là số chính phương với mọi $a,b,c,d$ nguyên dương.
N
30 tháng 1 2017
a3+b3+c3=3abc <=> (a+b)3-3ab(a+b)+c3=3abc
<=> (a+b+c)3-3(a+b)c(a+b+c)-3ab(a+b)-3abc=0
<=> (a+b+c)3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b+c)=0
<=>(a+b+c)(a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca-3ac-3bc-3ab)=0
<=> (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=0
<=> (a+b+c)\(\frac{\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]}{2}\)=0
<=> \(\left[\begin{matrix}a+b+c=0\\a=b=c\end{matrix}\right.\)
mà a,b,c dương nên a+b+c khác 0 => a=b=c
14 tháng 5 2021
$a^4+b^4+c^4+ab^3+bc^3+ca^3\geq 2(a^3b+b^3c+c^3b)$
BĐT cần cm $\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+ab^3+bc^3+ca^3- 2(a^3b+b^3c+c^3b)\geq 0$
$VT=\frac{1}{2}(a^2-b^2+bc-ba)^2+\frac{1}{2}(b^2-c^2+ac-bc)^2+\frac{1}{2}(c^2-a^2+ab-ac)^2\geq 0$
HT
2
TN
15 tháng 3 2017
Ta chứng minh điều ngược lại đúng mà đây là BĐT Nesbitt tìm trên mạng đầy cách c/m
Sửa đề : ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = 8abc
Giải :
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 2 số dương , ta có :
\(\hept{\begin{cases}a+b\ge2\sqrt{ab}\\b+c\ge2\sqrt{bc}\\c+a\ge2\sqrt{ca}\end{cases}}\)
Nhân vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta được :
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Vì a,b,c là các số thực dương
nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(c+a\ge2\sqrt{ca}\)
Nhân vế với vế
=> \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8\left|abc\right|=8abc\)
( do a,b,c là các số thực dương )
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
=> đpcm