Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x+3}=a\ge0\\\sqrt{y}=b\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow b\left(b^2+1\right)-3a^2=\left(a^2+1\right)a-3b^2\)
\(\Rightarrow a^3-b^3+3a^2-3b^2+a-b=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)+\left(a-b\right)\left(3a+3b\right)+a-b=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2+3a+3b+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a=b\Rightarrow\sqrt{2x+3}=\sqrt{y}\)
\(\Rightarrow y=2x+3\)
\(\Rightarrow M=x\left(2x+3\right)+3\left(2x+3\right)-4x^2-3\) tới đây chắc chỉ cần bấm máy
- \(B=\left(4x^2+3y\right)\left(4y^2+3x\right)+25xy=16x^2y^2+12\left(x^3+y^3\right)+34xy\)
\(=16x^2y^2+12\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+34xy\)
\(=16x^2y^2+12\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]+22xy\)
\(=16x^2y^2-2xy+12\)
Đặt \(t=xy\) thì \(B=16t^2-2t+12=16\left(t-\frac{1}{16}\right)^2+\frac{191}{16}\ge\frac{191}{16}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=1\\xy=\frac{1}{16}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\\y=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\\y=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\end{cases}}\)
Vậy min B \(=\frac{191}{16}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(\frac{2+\sqrt{3}}{4};\frac{2-\sqrt{3}}{4}\right);\left(\frac{2-\sqrt{3}}{4};\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)\)
- Như trên ta có : \(B=16\left(xy-\frac{1}{16}\right)^2+\frac{191}{16}\)
Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy , ta có : \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\)
Suy ra : \(B\le16\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{16}\right)^2+\frac{191}{16}=\frac{25}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1/2
Vậy max B = 25/2 khi (x;y) = (1/2;1/2)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$2A=2x^2y^2(x^2+y^2)=xy.[2xy(x^2+y^2)]\leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2.\left(\frac{2xy+x^2+y^2}{2}\right)^2$
$\Leftrightarrow 2A\leq \frac{(x+y)^6}{16}=\frac{1}{16}$
$\Rightarrow A\leq \frac{1}{32}$
Vậy $A_{\max}=\frac{1}{32}$. Giá trị này đạt được khi $x=y=\frac{1}{2}$
=>2x-2y=8 và 2x+3y=5m+3
=>-5y=8-5m-3=-5m+5 và x-y=4
=>y=m-1 và x=4+m-1=m+3
x^2+y^2-4=(m+3)^2+(m-1)^2-4
=m^2+6m+9+m^2-2m+1-4
=2m^2+4m+6
=2(m^2+2m+3)
=2(m^2+2m+1+2)
=2[(m+1)^2+2]>=4
=>A<=2019/4
Dấu = xảy ra khi m=-1
Ta có: \(\frac{1}{\left(3x+1\right)\left(y+z\right)+x}=\frac{1}{3x\left(y+z\right)+x+y+z}\le\frac{1}{3x\left(y+z\right)+3\sqrt[3]{xyz}}\)
\(=\frac{1}{3x\left(y+z\right)+3\sqrt[3]{1}}=\frac{1}{3x\left(y+z\right)+3}=\frac{1}{3\left(xy+zx+1\right)}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+1}\)
Tương tự ta chứng minh được:
\(\frac{1}{\left(3y+1\right)\left(z+x\right)+y}\le\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+1}\) ; \(\frac{1}{\left(3z+1\right)\left(x+y\right)+z}\le\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1}\)
Cộng vế 3 BĐT trên lại:
\(A\le\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1}+\frac{1}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+1}+\frac{1}{\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+1}\right)\)
\(\Leftrightarrow3A\le\frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^3+\left(\frac{1}{\sqrt[3]{y}}\right)^3+1}+\frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{y}}\right)^3+\left(\frac{1}{\sqrt[3]{z}}\right)^3+1}+\frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{z}}\right)^3+\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^3+1}\)
Đặt \(\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}};\frac{1}{\sqrt[3]{y}};\frac{1}{\sqrt[3]{z}}\right)=\left(a;b;c\right)\) khi đó:
\(3A\le\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\)
\(=\frac{1}{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+1}+\frac{1}{\left(b+c\right)\left(b^2-bc+c^2\right)+1}+\frac{1}{\left(c+a\right)\left(c^2-ca+a^2\right)+1}\)
\(\le\frac{1}{\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)+1}+\frac{1}{\left(b+c\right)\left(2bc-bc\right)+1}+\frac{1}{\left(c+a\right)\left(2ca-ca\right)+1}\)
\(=\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)+1}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)+1}\)
\(=\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}+\frac{abc}{bc\left(b+c\right)+abc}+\frac{abc}{ca\left(c+a\right)+abc}\)
\(=\frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{b+c+a}+\frac{b}{c+a+b}\)
\(=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy Max(A) = 1 khi x = y = z = 1
Câu hỏi của Pham Van Hung - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
\(ĐK:x\ne y;x\ne-y;x^2+xy+y^2\ne0;x^2-xy+y^2\ne0\)
\(A=\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\cdot\left[1:\dfrac{\left(x^3+y^3\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)}\right]\\ A=\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\cdot\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\\ A=x-y=B\)
\(x=0;y=0\Leftrightarrow B=0\)
Giá trị của A không xác định vì \(x=y\) trái với ĐK:\(x\ne y\)
Vậy \(A\ne B\)
Lời giải:
Ta có: $A=x^2+\frac{1}{y(x-y)}$. Đặt $x-y=a$ với $a>0$ thì áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$A=(a+y)^2+\frac{1}{ay}\geq 4ay+\frac{1}{ay}\geq 2\sqrt{4ay.\frac{1}{ay}}=4$
Vậy $A_{\min}=4$ khi $x=\sqrt{2}; y=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Ta có :
\(A=x^3y^3.\left(x^2+y^2\right)\)\(=\frac{1}{2}\cdot\left(xy\right)\cdot\left(xy\right)\cdot\left(2xy\right)\cdot\left(x^2+y^2\right)\)
Áp dụng BĐT : \(ab\le\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\) ta được :
\(A=\frac{1}{2}\cdot\left(xy\right)\cdot\left(xy\right)\cdot\left(2xy\right)\cdot\left(x^2+y^2\right)\)
\(\le\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\cdot\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\cdot\left(\frac{2xy+x^2+y^2}{2}\right)^2\)
\(=\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(x+y\right)^4}{16}\cdot\frac{\left(x+y\right)^4}{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{128}\)
Nên : \(A\le\frac{1}{128}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy Min \(A=\frac{1}{128}\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)