Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy\)
\(=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+4xy+\frac{3}{2xy}\)
\(\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+4xy+\frac{1}{4xy}+\frac{5}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{5}{4xy}\)
Ta có BĐT phụ: \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(đúng )
Dấu "=" xảy ra <=> x=y
\(\Rightarrow P\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\ge\frac{4}{1}+2+\frac{5}{1}=11\)
Dấu"=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy Min P =11 \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi x = y. Gộp một cách hợp lí các số hạng để áp dụng bất đẳng thức.
\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+\frac{1}{2.\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{2}{\left(x+y\right)^2}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1/2.
GTNN của A là 6.
\(B=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}+4xy+\frac{8057}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{\frac{1}{4xy}.4xy}+\frac{8057}{\left(x+y\right)^2}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2+\frac{8057}{\left(x+y\right)^2}=8063\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1/2.
Vậy GTNN của B là 8063.
Gỉa thiết tương đương với \(xy^2+\frac{x^2}{z}+\frac{y}{z^2}=3\)
Đặt \(a=x;b=y;c=\frac{1}{z}\)khi đó bài toán quy về
\(ab^2+a^2c+c^2b=3\)Tìm GTLN của \(P=\frac{1}{a^4+b^4+c^4}\)
Sử dụng BĐT AM-GM ta có :
\(a^4+b^4+b^4+1\ge4\sqrt[4]{a^4b^4b^4}=4ab^2\)
Bằng cách chứng minh tương tự ta được :
\(b^4+c^4+c^4+1\ge4bc^2\); \(c^4+a^4+a^4+1\ge4ca^2\)
Cộng theo vế các bđt cùng chiều ta được :
\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)+3\ge4\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)=4.3=12\)
\(< =>a^4+b^4+c^4+1\ge\frac{12}{3}=4\)
\(< =>a^4+b^4+c^4\ge4-1=3\)
Vậy \(P\le\frac{1}{3}\)Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1< =>x=y=z=1\)
Bài này mình đánh bị lỗi nha
Lỗi đề ak bn??