Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x\ge xy+1\Rightarrow1\ge y+\dfrac{1}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{y}{x}}\Rightarrow\dfrac{y}{x}\le\dfrac{1}{4}\)
\(Q^2=\dfrac{x^2+2xy+y^2}{3x^2-xy+y^2}=\dfrac{\left(\dfrac{y}{x}\right)^2+2\left(\dfrac{y}{x}\right)+1}{\left(\dfrac{y}{x}\right)^2-\dfrac{y}{x}+3}\)
Đặt \(\dfrac{y}{x}=t\le\dfrac{1}{4}\)
\(Q^2=\dfrac{t^2+2t+1}{t^2-t+3}=\dfrac{t^2+2t+1}{t^2-t+3}-\dfrac{5}{9}+\dfrac{5}{9}\)
\(Q^2=\dfrac{\left(4t-1\right)\left(t+6\right)}{9\left(t^2-t+3\right)}+\dfrac{5}{9}\le\dfrac{5}{9}\)
\(\Rightarrow Q_{max}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\) khi \(t=\dfrac{1}{4}\) hay \(\left(x;y\right)=\left(2;\dfrac{1}{2}\right)\)
Bài này hơi căng đấy, theo cách tao nhã nào đó, nó có thể là một bề dày không hoen ố.
Dễ dàng chứng minh được bđt sau:
\(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\) \(\left(i\right)\)
Thật vậy, áp dụng bđt \(B.C.S\) cho bộ số bao gồm \(\left(1;1\right)\) và \(\left(x^2;y^2\right)\) ta được:
\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow\) \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)
Hay nói cách khác, \(\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge x+y\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(x=y\)
Vậy, bđt đã cho được chứng minh!
Theo như cách đề bài đã chọn, để biểu thức \(A\) có giá trị lớn nhất thì \(\frac{1}{A}\) phải đạt giá trị nhỏ nhất hay ta phải tìm \(P_{min}\)(với \(P=\frac{1}{A}\)\(\Rightarrow\) \(P\in Z^+\))
Ta có: \(P=\frac{x+y+2}{xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{xy}\)
Lại có: \(4=x^2+y^2\ge2xy\) \(\Rightarrow\) \(2\ge xy\) (theo bđt Cauchy cho hai số \(x^2,y^2\) không âm)
nên \(P\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1\)
Mặt khác, tiếp tục áp dụng bđt \(Cauchy-Schwarz\) dạng \(Engel\) cho bộ số gồm \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y}\right)\) đối với \(P,\)ta có:
\(P\ge\frac{4}{x+y}+1\ge\frac{4}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}+1=\frac{4}{\sqrt{2.4}}+1=\sqrt{2}+1\) (theo bđt \(\left(i\right)\) )
Do đó, \(P_{min}=\sqrt{2}+1\) tức là \(\frac{1}{A}\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\sqrt{2}+1\)
Vậy, dễ dàng suy ra được \(A_{max}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x,y>0\\x^2+y^2=4\\x=y\end{cases}\Leftrightarrow}\) \(x=y=\sqrt{2}\)
\(x+y\le xy\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le1\)
\(M=\dfrac{1}{2\left(x^2+y^2\right)+y^2}+\dfrac{1}{2\left(x^2+y^2\right)+x^2}\le\dfrac{1}{4xy+y^2}+\dfrac{1}{4xy+x^2}\)
\(B\le\dfrac{1}{25}\left(\dfrac{4}{xy}+\dfrac{1}{y^2}\right)+\dfrac{1}{25}\left(\dfrac{4}{xy}+\dfrac{1}{x^2}\right)=\dfrac{1}{25}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{2}{xy}+\dfrac{6}{xy}\right)\)
\(M\le\dfrac{1}{25}\left[\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2+\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\right]=\dfrac{1}{10}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le\dfrac{1}{10}\)
\(M_{max}=\dfrac{1}{10}\) khi \(x=y=2\)
Sử dụng BĐT cộng mẫu:
\(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{\left(1+1+1+1+1\right)^2}{xy+xy+xy+xy+y^2}=\dfrac{25}{4xy+y^2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{4xy+y^2}\le\dfrac{1}{25}\left(\dfrac{4}{xy}+\dfrac{1}{y^2}\right)\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x+3}=a\ge0\\\sqrt{y}=b\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow b\left(b^2+1\right)-3a^2=\left(a^2+1\right)a-3b^2\)
\(\Rightarrow a^3-b^3+3a^2-3b^2+a-b=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)+\left(a-b\right)\left(3a+3b\right)+a-b=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2+3a+3b+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a=b\Rightarrow\sqrt{2x+3}=\sqrt{y}\)
\(\Rightarrow y=2x+3\)
\(\Rightarrow M=x\left(2x+3\right)+3\left(2x+3\right)-4x^2-3\) tới đây chắc chỉ cần bấm máy
Cho x;y là các số thực thõa mãn \(x^2+y^2-xy=4\). Giá trị lớn nhất của biểu thức A= \(x^2+y^2\)bằng?
vì x,y>0
p/4=x^2+y^2/x^2+y^2-xy
đặt x/y=a>0
p/4=a^2+1/a^2-a+1 suy ra P(a^2-a+1=4(a^2+1) suy ra a^2(P-4)-Pa+P-4=0
ta có P^2-4(P-4)^2_>0 suy ra 8/3_< P_<8
ak dấu _< là lớn hơn hoặc bằng nha
k mk nữa
https://grandedesafio.com/vn/quiz/32281536