Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{xy+xz}=\frac{4}{x\left(y+z\right)}\)(1)
Lại có : \(x\left(y+z\right)\le\left(\frac{x+y+z}{2}\right)^2=4\)( theo AM-GM )
=> \(\frac{1}{x\left(y+z\right)}\ge\frac{1}{4}\)
=> \(\frac{4}{x\left(y+z\right)}\ge1\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{x\left(y+z\right)}\ge1\)
=> \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge1\)( đpcm )
Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=z=1\end{cases}}\)
Vì \(x+y+z=4\Rightarrow x=4-\left(y+z\right)\)
Mặt khác : \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge1\Leftrightarrow\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge x\left(1\right)\)
Thay x = 4 - ( y +z ) vào (1) ta được
\(\frac{1}{z}+\frac{1}{y}\ge4-\left(y+z\right)\Leftrightarrow\frac{1}{y}-2+y+\frac{1}{z}-2+z\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{\sqrt{y}}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{z}}-\sqrt{z}\right)^2\ge0\) luôn đúng
dấu " = " xảy ra khi y = z = 1 và x= 2
Một hướng giải bằng Cô si (AM-GM) đỡ cồng kềnh hơn!
\(VT=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{4}{x\left(y+z\right)}\ge\frac{4}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4}}=\frac{16}{4^2}=1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(y=z;x=y+z;x+y+z=4\)
\(\Rightarrow x=2;y=z=1\)
Vậy...
\(4=\frac{x}{2}+y+\frac{x}{2}+z\ge\sqrt{2xy}+\sqrt{xz}\)
đặt căn 2xy là a,,,,,,căn 2xz là b ....Ta có \(a+b\le4\) và cần CM :\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(\frac{4}{a+b}\right)^2\ge\frac{1}{2}\Rightarrowđpcm\)
Câu hỏi của Lê Thanh Thưởng - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
bài này dòng thứ 3 mình gõ nhầm nhé sửa thành "Từ x+y+z=4"
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{xy+xz}=\dfrac{4}{x\left(y+z\right)}\)(1)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(x\left(y+z\right)\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{4}=4\)=> \(\dfrac{1}{x\left(y+z\right)}\ge\dfrac{1}{4}\)=> \(\dfrac{4}{x\left(y+z\right)}\ge1\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}\ge\dfrac{4}{x\left(y+z\right)}\ge1\)=> \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}\ge1\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra <=> x = 2 ; y = z = 1
Áp dụng BĐT cô si
\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2y\)
\(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge2z\)
\(\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\ge2x\)
Cộng vế với vế của ba BĐT :
=> \(A\ge x+y+z=1\)
Vậy ....
Từ \(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\) thì có
\(\frac{c^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b^3}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{1}{16}\)\(\forall\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\a,b,c>0\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{b+1}{64}+\frac{c+1}{64}\ge\frac{3a}{16}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế
\(VT+\frac{2\left(a+b+c+3\right)}{64}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{16}\Leftrightarrow VT\ge\frac{1}{16}\)
Khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
a) x4+x3+2x2+x+1=(x4+x3+x2)+(x2+x+1)=x2(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2+1)
b)a3+b3+c3-3abc=a3+3ab(a+b)+b3+c3 -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)((a+b)2-(a+b)c+c2)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-ab+c2-3ab)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c
a+b+c=x-y-z+z-x=o
đưa về như bài b
d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung
e)x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)=x2(y-z)-y2((y-z)+(x-y))+z2(x-y)
=x2(y-z)-y2(y-z)-y2(x-y)+z2(x-y)=(y-z)(x2-y2)-(x-y)(y2-z2)=(y-z)(x2-2y2+xy+xz+yz)
1/xy+1/xz>=1
<=> 1/x(1/y+1/z) >=1
<=>1/y+1/z>=x=4-y-z
<=>1/y+y+1/z+z>=4
<=>(1/y+y)+(1/z+z)>=4 (dễ nhá,tự cm đc chứ j)
>=2 >=2