![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
chẳng hiểu
Nguyễn Huy Thắng chuyện gì thế (xem hộ hả)
?
(1) không phải thấy x,y >0 mà phải lập luận x,y>0 ;
hoặc ít nhất phải ghi dẽ dàng c/m được x,y <=0 vô nghiệm => x,y >0
\(x;y=0\) nhỏ hơn 0
\(x=y=-1\) <2
\(x,y<-2\) thì \(2^x;4^y\) là phân số <32
x,y càng lớn thì \(2^x;4^y\) là phân số càng bé <32
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1)đề thiếu
2)\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2xy}{x-y}\)\(=\frac{\left(x-y\right)^2+2}{x-y}=x-y+\frac{2}{x-y}\)
\(x>y\Rightarrow x-y>0\).Áp dụng Bđt Côsi ta có:
\(\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right)\cdot\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}\)
Đpcm
3)\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
Đpcm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Với mọi số thực x ta có: \(\left(x-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+1\ge2x\)
Tương tự \(y^2+1\ge2y,z^2+1\ge2z\)
Cộng theo vế các bất phương trình trên ta có0:
\(x^2+1+y^2+1+z^2+1\ge2x+2y+2z\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1
b) \(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\)
Vì x>y => x-y >0. Áp dụng bất đẳng thức cosi cho x-y>0 và 2/(x-y) >0. Ta có:
\(\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1/ Sửa đề: \(x+y+z=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)-2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(y-2\sqrt{yz}+z\right)+\left(z-2\sqrt{zx}+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\)
Với mọi x, y, z ta luôn có: \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0;\) \(\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\ge0;\) \(\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0;\)
\(\Rightarrow\) \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\)
Do đó dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0\\\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2=0\\\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) x = y = z
3/ Đây là BĐT Cô-si cho 2 số dương a và b, ta biến đổi tương đương để chứng minh
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}\right)^2\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+2ab-4ab\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(a^2-2ab+b^2\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
2/ Vì x > y và xy = 1 áp dụng BĐT Cô-si ta được:
\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{1}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{1}{x-y}}=2\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x>y\\xy=1\\x-y=\frac{1}{x-y}\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)
mặt khác \(x>y\Rightarrow x-y>0\)
áp dụng BĐT CÔ-SI CHO hai số dương ta được \(\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right)\frac{2}{x-y}}\ge2\sqrt{2}\)
dấu''='' xảy ra khi và chỉ khi \(\left(x-y\right)=\frac{2}{x-y}\)
Trường hợp dấu băng xảy ra chưa rỗ, còn cần phải giải thêm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bài này hôm trước hình như bạn mới hỏi xong, vậy làm chi tiết cho đỡ băn khoăn:
Với các số dương a;b;c;x;y;z bất kì, ta chứng minh BĐT sau:
\(\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(x+y\right)^2}\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(a^2+b^2+x^2+y^2+2\sqrt{a^2b^2+x^2y^2+x^2b^2+a^2y^2}\ge a^2+b^2+x^2+y^2+2ab+2xy\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2b^2+x^2y^2+a^2y^2+b^2x^2}\ge ab+xy\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+x^2y^2+a^2y^2+b^2x^2\ge a^2b^2+x^2y^2+2abxy\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Từ đó suy ra:
\(\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}+\sqrt{c^2+z^2}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(x+y\right)^2}+\sqrt{c^2+z^2}\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(x+y+z\right)^2}\)
Áp dụng cho bài toán:
\(VT=\sqrt{\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}y}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(y+\dfrac{z}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}z}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(z+\dfrac{x}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}x}{2}\right)^2}\)
\(VT\ge\sqrt{\left(x+\dfrac{y}{2}+y+\dfrac{z}{2}+z+\dfrac{x}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}y}{2}+\dfrac{\sqrt{3}z}{2}+\dfrac{\sqrt{3}x}{2}\right)^2}=2\left(x+y+z\right)\) (đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: \(2\left(a^5+b^5\right)=\left(a+b\right)\left(a^5+b^5\right)\ge\left(a^3+b^3\right)^2\)
\(\Rightarrow a^5+b^5\ge\frac{\left(a^3+b^3\right)^2}{2}\)
Mà \(2\left(a^3+b^3\right)=\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2\)
\(\Rightarrow a^5+b^5\ge\frac{\left(\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\right)^2}{2}=\frac{\left(a^2+b^2\right)^4}{8}\)
\(\ge\frac{\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right)^4}{8}=\frac{16}{8}=2\left(đpcm\right)\)
Có BĐT sau:
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge x^2+2xy+y^2\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(true!\right)\)
Ta có:
\(x^8+y^8\ge\frac{\left(x^4+y^4\right)^2}{2}\ge\frac{\left[\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}\right]^2}{2}\ge2\)
Dấu "=" xảy ra tại a=b=1