Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Ta thấy: \(a_n=3n^2+6n+13=3(n^2+2n+1)+10\)
\(=3(n+1)^2+10\)
Một số chính phương chia $5$ có thể dư $0,1,4$.
Do đó \((n+1)^2\equiv 1, 4\pmod 5\)
\(\Rightarrow a_n\equiv 3(n+1)^2+10\equiv 13, 22, 10\pmod 5\)
\(\Leftrightarrow a_n\equiv 2,3,0\pmod 5\)
Với \(a_n\not\vdots 5\Rightarrow a_n\equiv 2,3\pmod 5\)
Vậy $a_i,a_j$ không chia hết cho $5$ và có số dư khác nhau khi chia cho $5$ sẽ có một số dư $2$ và một số dư $3$
\(\Rightarrow a_i+a_j\equiv 2+3\equiv 5\equiv 0\pmod 5\)
Tức là $a_i+a_j$ chia hết cho $5$
Ta có đpcm.
b)
Theo phần a, \(a_n=3(n+1)^2+10\equiv 2,3,0\pmod 5\)
Nếu $a_n$ là một số chính phương thì \(a_n\equiv 0\pmod 5\) do số chính phương chia $5$ chỉ dư $0,1,4$
\(\Leftrightarrow 3(n+1)^2+10\vdots 5\)
\(\Leftrightarrow 3(n+1)^2\vdots 5\)
\(\Leftrightarrow (n+1)^2\vdots 5\Rightarrow n+1\vdots 5\) (do 5 là số nguyên tố)
\(\Rightarrow (n+1)^2\vdots 25\)
Do đó $a_n=3(n+1)^2+10$ là một số chia hết cho $5$ nhưng không chia hết cho $25$, suy ra $a_n$ không thể là số chính phương.
a) Ta có: \(2018^n-1964^n⋮3\)
\(2032^n-1984^n⋮3\)
nên An chia hết cho 3
Mà \(2018^n-1984^n⋮17\)
\(2032^n-1964^n⋮17\)
nên An chia hết cho 17
Vậy A chia hết cho 51
b) Ta có: An đồng dư 3^n +2^n-2.4^n (mod5)
và An đồng dư 2^n + 7^n -2^n-4^n (mod9)
Vậy An chia hết cho 45 khi n có dạng 12k
Lời giải:
Đặt $n^2-n+13=t^2$ với $t$ là số tự nhiên
$\Rightarrow 4n^2-4n+52=4t^2$
$\Leftrightarrow (4n^2-4n+1)+51=4t^2$
$\Leftrightarrow (2n-1)^2+51=(2t)^2$
$\Leftrightarrow 51=(2t)^2-(2n-1)^2=(2t-2n+1)(2t+2n-1)$
Đến đây là dạng phương trình tích cơ bản rồi. Bạn lập bảng xét giá trị để tìm ra $n$ thôi.
Đặt \(N=3^n+19\)
Nếu n lẻ \(\Rightarrow n=2k+1\Rightarrow n=3.9^k+19\equiv\left(3-1\right)\left(mod4\right)\equiv2\left(mod4\right)\)
Mà các số chính phương chia 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
\(\Rightarrow\)N không phải SCP
\(\Rightarrow n\) chẵn \(\Rightarrow n=2k\)
\(\Rightarrow\left(3^k\right)^2+19=m^2\)
\(\Leftrightarrow\left(m-3^k\right)\left(m+3^k\right)=19\)
Pt ước số cơ bản, bạn tự hoàn thành nhé
