Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$a^2+9\geq 2\sqrt{9a^2}=2|3a|\geq 6a$
Tương tự: $b^2+9\geq 6b; c^2+9\geq 6c$
Cộng theo vế:
$a^2+b^2+c^2\geq 6(a+b+c)-27(*)$
Cũng áp dụng BĐT AM-GM:
$a^2+b^2\geq 2\sqrt{a^2b^2}=2|ab|\geq 2ab$
Hoàn toàn tương tự và cộng theo vế:
$2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)$
$\Leftrightarrow 6(a^2+b^2+c^2)\geq 6(ab+bc+ac)(**)$
Lấy $(*)+(**)\Rightarrow 7(a^2+b^2+c^2)\geq 6(a+b+c+ab+bc+ac)-27=6.36-27=189$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq 27$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=3$
Ta có
\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)> ab + bc + ca =3 => a + b + => 3
ta có abc > ( a+b+c) ( b + c -a ) ( c + a -b)
= ( a+b+c+ 2c) ( b + c -a +2a) ( c + a -b+2b)
> ( 3 -2c ) ( 3 - 2 a ) ( 3 - 2 b ) ( do a+b + c)> 3
= 12 ( xy + yz + zx ) -8 xyz - 18 ( x + y + z ) + 27
= 12 .3 - 8xyz - 18 .3 +27
9 - 8 xyz
ta có : xyz > 9 - 8 xyz + 8 xyz > 9 => xyz > 1
do đó : 4 ( a + b + c ) + abc > 4.3 + 1 = 13 (dpcm)
hok tốt
Vì \(0\le a;b;c\le1\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b^2\le b\\c^3\le c\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a+b^2+c^3-ab-bc-ac\le a+b+c-ab-bc-ac\)
\(=\left(-1+a+b+c-ab-bc-ac+abc\right)-abc+1\)
\(=\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)-abc+1\)
Do \(1\ge a;b;c\ge0\) nên \(\hept{\begin{cases}\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\le0\\-abc\le0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)-abc\le0\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)-abc+1\le1\)
Hay \(a+b^2+c^3-ab-bc-ca\le1\)(đpcm)
Do\(1\ge a,b,c\ge0\)
\(\Rightarrow b\ge b^2,c\ge c^3\)
Do đó: \(a+b^2+c^3-ab-bc-ca\le a+b+c-ab-bc-ca\)(1)
Vì \(1\ge a,b,c\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\le0\)
\(\Rightarrow a+b+c-ab-bc-ca+abc-1\le0\)
\(\Rightarrow a+b+c-ab-bc-ca\le1-abc\)
Mà \(abc\ge0\)
\(\Rightarrow a+b+c-ab-bc-ca\le1\)(2)
Từ (1) và (2) => đpcm
Vì \(ab+bc+ac=3\) => \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{abc}\)
Đặt \(\frac{1}{a}=x\): \(\frac{1}{b}=y\): \(\frac{1}{c}=z\)=> x+y+z=3xyz
Ta có \(4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+\frac{1}{xyz}\ge13\)
AD BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) dấu = khi a=b=c ta có
\(4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{36}{x+y+z}\)=\(\frac{36}{3xyz}=\frac{12}{xyz}\)
=> \(\frac{12}{xyz}+\frac{1}{xyz}\ge13\)
=> \(\frac{13}{xyz}\ge13\)
mà \(3xyz=x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)dấu = khi x=y=z
=> xyz\(\le1\)
=> đpcm
