Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
do AD//CM nên \(\frac{AD}{CM}=\frac{BA}{BM}=\frac{c}{b+c}\)
mà \(CM< AM+AC=2b=>\frac{c}{bc}>\frac{AD}{2b}=>\frac{1}{l_a}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(1\right)\)
tương tự ta có
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{l_b}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\left(2\right)\\\frac{1}{l_c}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(3\right)\end{cases}}\)
cộng (1) (2) (3) zế zới zế ta được đpcm
a) Gọi AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\left(D\in BC\right)\)
Qua B vẽ đường thẳng song song với AD cắt AC tại M
Ta có: \(\widehat{ABM}=\widehat{BAD};\widehat{AMB}=\widehat{DAC}\)
Mà \(\widehat{BAD}=\widehat{DAC}\)(vì AD là phân giác \(\widehat{BAC}\))
=> \(\widehat{AMB}=\widehat{ABM}\) nên \(\Delta\)ABM cân tại A)
Từ đó có AM=AB=c. \(\Delta\)ABM có: MB<AM+AB=2c
\(\Delta\)ADC có: MB//AD, nên \(\frac{AD}{AB}=\frac{AC}{MC}\) (hệ quả định lý Ta-let)
do đó \(AD=\frac{AC}{MC}\cdot MB< \frac{AC}{AC+AM}\cdot2bc=\frac{2bc}{b+c}\)
b) Cmtt câu a) ta có: \(\hept{\begin{cases}y< \frac{2ca}{c+a}\\z< \frac{2ab}{a+b}\end{cases}}\)
Do đó: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\\\frac{1}{y}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\\\frac{1}{z}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)\end{cases}\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\)
Bài này hình như trong sách nào mà t quên ròi, ai nhớ nhắc với
Đặt a+b-c=x
b+c-a=y
c+a-b=z
\(A=\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ca}{c+a-b}\)
Ta có a;b;c là độ dài 3 cạnh tam giác nên x;y;z>0
\(4A=\frac{2a.2b}{x}+\frac{2b.2c}{y}+\frac{2c.2a}{z}\)
\(=\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{x}+\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{y}+\frac{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{z}\)
\(=3\left(x+y+z\right)+\left(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}+\frac{xy}{z}\right)\)
\(\ge3\left(x+y+z\right)+\frac{\left(x+y+z\right)xyz}{xyz}\)\(=4\left(x+y+z\right)=4\left(a+b+c\right)\) (Do x;y;z>0)
\(\Rightarrow A\ge a+b+c\)