Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì x+y+z=0
=> \(\hept{\begin{cases}x+y=-z\\y+z=-x\\x+z=-y\end{cases}}\)
Ta có \(A=\frac{x}{y+z-x}+\frac{y}{x+z-y}+\frac{z}{x+y-z}\)
\(=\frac{x}{-x-x}+\frac{y}{-y-y}+\frac{z}{-z-z}=\frac{x}{-2x}+\frac{y}{-2y}+\frac{z}{-2z}\)
\(=\frac{-1}{2}+\frac{-1}{2}+\frac{-1}{2}=\frac{-3}{2}\)
Áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số không âm:
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)hay \(1\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{xyz}\le\frac{1}{3}\Rightarrow xyz\le\frac{1}{27}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\))
Lại áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số không âm là x + y; y + z; x + z, ta được:
\(\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\ge3\sqrt[3]{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(\Rightarrow2\ge3\sqrt[3]{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)(Vì x + y + z = 1)
\(\Rightarrow27\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\le8\)(lập phương hai vế)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\le\frac{8}{27}\)
(Dâú "="\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\))
\(\Rightarrow S\le\frac{1}{27}.\frac{8}{27}=\frac{8}{729}\)(Dâú "="\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\))
a/ \(2a^2+a=3b^2+b\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2-b^2\right)+\left(a+b\right)=b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2a+2b+1\right)=b^2\)
Giả sử d là UCLN (a - b, 2a + 2b + 1) thì ta có
b2 chia hết cho d2 => b chia hết cho d
Mà 2a + 2b + 1 - 2(a - b) = 4b + 1 chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d hay d = 1
=> (a - b) và (2a + 2b +1) nguyên tố cùng nhau
Vậy 2a + 2b + 1 là số chính phương
2 SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU KHÔNG CÓ NGHĨA LÀ 1 TRONG 2 SỐ ĐÓ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG : VIDU 5 VÀ 6 LÀ 2 SỐ NG TỐ CÙNG NHAU VÌ CÓ UCLN=1 NHƯNG KO CÓ SỐ NÀO LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG CẢ...HIHIHI
Cho x, y, z > 0 và xyz=1. CMR :
\(\dfrac{x^2}{1+y}+\dfrac{y^2}{1+z}+\dfrac{z^2}{1+z}\ge\dfrac{3}{2}\)
Đề sai nhé, \(\dfrac{z^2}{x+1}\) mới đúng nha
\(\dfrac{x^2}{y+1}+\dfrac{y^2}{z+1}+\dfrac{z^2}{x+1}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3}\left(\text{Svácxơ}\right)\)
\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Ta có: \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)
\(\Rightarrow x+y+z+3\le2\left(x+y+z\right)\)
Bài 1:Áp dụng C-S dạng engel
\(\frac{3}{xy+yz+xz}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{6}{2\left(xy+yz+xz\right)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\ge\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2>14\)