Question

[Nguyen Van Hieu]

Tìm các số nguyên x sao cho A=x(x+1)(x+7)(x+8) là 1 số chính phương.

Answer 1

[Nguyễn Xuân Anh]

\(A=x\left(x+1\right)\left(x+7\right)\left(x+8\right).\)

\(=\left(x^2+8x\right)\left(x^2+8x+7\right)\)
giả sử tồn tại x∊Z để x.(x+1).(x+7).(x+8) là số chính phương 
đặt x.(x+1).(x+7).(x+8) = n² (n∊N) 
<=> (x²+8x).(x²+8x+7) = n² 
<=> (2x²+16x).(2x²+16x+14) = 4n² 
<=> (2x²+16x).(2x²+16x+7)+7.(2x²+16x) = 4n² 
<=> (2x²+16x).(2x²+16x+7)+7.(2x²+16x+7) = 4n²+49 
<=> (2x²+16x+7)² = 4n²+49 
<=> (2x²+16x+7-2n).(2x²+16x+7+2n) = 49 
x∊Z,n∊N=>2x²+16x+7-2n∊Z ; 2x²+16x+7+2n∊Z 
n∊N=>2x²+16x+7-2n≤2x²+16x+7+2n 
Phân tích 49 thành tích 2 số nguyên chỉ có 
49 = 1.49 = 7.7 = (-1).(-49) = (-7).(-7) 
-nếu 2x²+16x+7-2n = 2x²+16x+7+2n 
<=> n=0 
<=> x.(x+1).(x+7).(x+8) 
<=> x = 0 hoặc x = -1 hoặc x = -7 hoặc x = -8 
thử lại thấy thỏa mãn 
-nếu 2x²+16x+7-2n ≠ 2x²+16x+7+2n 
+2x²+16x+7-2n = 1 và 2x²+16x+7+2n = 49 
<=> x²+8x-n = -3 và x²+8x+n = 21 
<=> n = 12 và x = 1 hoặc x = -9 
+2x²+16x+7-2n = -49 và 2x²+16x+7+2n = -1 
<=> x²+8x-n = -28 và x²+8x+n = -4 
<=> n = 12 và x = -8 
thử lại thấy thỏa mãn 
vậy... 

Answer 2

[Mathematics❤Trần Trung Hiếu❤Music]

A=x(x−1)(x−7)(x−8)A=x(x−1)(x−7)(x−8)

=[x(x−8)][(x−1)(x−7)]=[x(x−8)][(x−1)(x−7)]

=(x2−8x)(x2−8x+7)=(x2−8x)(x2−8x+7)

=(x2−8x)+7(x2−8x)=(x2−8x)+7(x2−8x)

Đặt a=x2+8xa=x2+8x => A=a2+7aA=a2+7a

Để A là số chính phương thì A=b2(b∈Z)A=b2(b∈Z)

⇒a2+7a=b2=4a2+28a+49−49−4b2=0⇒a2+7a=b2=4a2+28a+49−49−4b2=0

⇒(2a+7)2−(2b)2=49⇒(2a+7)2−(2b)2=49

⇒(2a+7+2b)(2a+7−2b)=49⇒(2a+7+2b)(2a+7−2b)=49

⇒2a+7+2b;2a+7−2b∈Ư(49)⇒2a+7+2b;2a+7−2b∈Ư(49)

⇒2a+7+2b;2a+7−2b∈{±1;±7;±49}⇒2a+7+2b;2a+7−2b∈{±1;±7;±49}

*còn lại bạn tự xét các trường hợp rồi chuyển lại a = x2 + 7x để tìm x nha.

CÁO TỪ