Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo bđt tam giác, ta có : \(\begin{cases}a+b>c\\b+c>a\\a+c>b\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}bc+ac>c^2\\ab+ac>a^2\\ab+bc>b^2\end{cases}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)< a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)< \left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)< 1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2< \frac{1}{2}\)
Ta có a < b + c
=> 2a < a + b + c = 2
=> a < 1
Tương tự b < 1, c < 1
Từ đó ta có (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 0
<=> -abc + ab + bc + ca - a - b - c + 1 > 0
<=> abc < ab + bc + ca - 1
<=> 2abc < 2(ab + bc + ca) - 2
a2 + b2 + c2 + 2abc < a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) - 2 = (a + b + c)2 - 2 = 2
Chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử c không phải cạnh nhỏ nhất, hay c lớn hơn hoặc bằng ít nhất một trong hai cạnh còn lại.
Giả sử cạnh đó là b. Ta có: \(b\le c\)
\(\Rightarrow a^2\ge5c^2-b^2\ge5c^2-c^2=4c^2\)
\(\Rightarrow a\ge2c\)
\(\Rightarrow b+c\le c+c=2c\le a\)
\(b+c\le a\) là một điều trái với bất đẳng thức tam giác \(b+c>a\)
Vậy điều giả sử sai.
Hay c là độ dài cạnh bé nhất,