Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
(a+b+c)2 ≥ 3(ab+bc+ca) (*)
=>a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca ≥ 3ab+3bc+3ca
=>a2+b2+c2 ≥ ab+bc+ca
nhân 2 vào cho 2 vế ta được:
2a2+2b2+2c2 ≥ ≥ 2ab+2bc+2ca
=> (a+b)2+(b+c)2+(c+a)2 ≥ 0 (luôn đúng)
=> (*) đúng
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz và BĐT \(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\), ta có:
\(\left(2^2+2^2\right)\left[\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2\right]\ge\left(2a^2+2b^2\right)^2\)\(\ge\left[2\times\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\right]^2=\left(a+b\right)^4\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge\dfrac{\left(a+b\right)^4}{8}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki,ta có:
\(a^4+b^4\) \(\geq\) \(\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\) \(\geq\) \(\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\right)^2}{2}\) = \(\dfrac{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^4}{2}\) = \(\dfrac{\left(a+b\right)^4}{8}\)
Dấu = xảy ra khi a=b
\(a^2+b^2+c^2+1>a+b+c\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+1-a-b-c>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2-b+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2-c+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}>0\)( luôn đúng )
Vậy ...
Ta có: \(a^2+b^2+c^2+1>a+b+c\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+1-a-b-c>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2-b+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2-c+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2.a.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2-2.b.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2-2.c.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}>0\)
Ta thấy: (a-1/2)2 lớn hơn hoặc bằng 0 (với mọi a)
(b-1/2)2 lớn hơn hoặc bằng 0 (với mọi b)
(c-1/2)2 lớn hơn hoặc bằng 0 (với mọi c)
1/4 > 0
Nên BĐT luôn đúng
=> ĐPCM
Ta có: a - b 2 ≥ 0 ⇒ a 2 + b 2 - 2 a b ≥ 0
⇒ a 2 + b 2 - 2 a b + 2 a b ≥ 2 a b ⇒ a 2 + b 2 ≥ 2 a b
⇒ a 2 + b 2 . 1 / 2 ≥ 2 a b . 1 / 2 ⇒ a 2 + b 2 / 2 ≥ a b
Giả sử BĐT trên đúng
Ta có \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}>=\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\\
\Leftrightarrow\frac{a^2y+b^2x}{xy}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\\
\Leftrightarrow\left(a^2y+b^2x\right)\left(x+y\right)\ge\left(a+b\right)^2xy\)
Bạn nhân ra rồi thu gọn tất cả các hạng tử về vế trái rồi được hàng đẳng thức:
\(\left(ay-bx\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đúng
Giả sử : a là số chẵn, b là số lẻ
Ta có : a . b = chẵn . lẻ = chẵn → Cho dù a + b là số nào đi nữa thì ab ( a+ b ) vẫn là số chẵn ( vì ab = số chẵn )
Giả sử : a là số lẻ, b là số lẻ
Ta có : ( a + b ) = lẻ + lẻ = chẵn → Cho dù ab là số nào đi nữa thì ab ( a+ b ) vẫn là số chẵn ( vì ( a + b ) = số chẵn )
Bonking thiếu nha bạn
Còn 2 trường hợp nữa
Nếu a là số lẻ b là số chẵn
Thì ab là số chẵn => ab(a + b) cũng là số chẵn
Nếu a là số chẵn , b là số lẻ thì mk chịu
1, Ta có :
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)(đpcm)
Dấu = sảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
2, Ta có :
\(a^2+b^2\ge2ab\)(chứng minh trên)
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2\ge2ab+2ab\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)(đpcm)
Dấu = sảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b\)